Номер 38.33, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.33, страница 151.

38.33 Постройте график функции:

a) $y = 2(x - 1)^{\frac{2}{3}} - 2$;

б) $y = -\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} + 2$;

в) $y = -(x + 2)^{\frac{3}{2}} + 1$;

г) $y = 1,5(x - 3)^{-\frac{2}{7}} - 4$.

а) $y = 2(x - 1)^{\frac{2}{3}} - 2$

Для построения графика данной функции используем метод преобразования графиков. В качестве базовой функции возьмем степенную функцию $y_0 = x^{\frac{2}{3}}$, что эквивалентно $y_0 = \sqrt[3]{x^2}$.

1. Базовый график $y_0 = x^{\frac{2}{3}}$.
   • Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
   • Функция является четной ($y(-x) = (-x)^{2/3} = (x^2)^{1/3} = x^{2/3} = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.
   • График проходит через точки $(0, 0)$ (это точка возврата, или касп), $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(8, 4)$, $(-8, 4)$.
2. Преобразования:
   • $y_1 = (x-1)^{\frac{2}{3}}$: Сдвиг графика $y_0$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс. Точка возврата перемещается в $(1, 0)$.
   • $y_2 = 2(x-1)^{\frac{2}{3}}$: Растяжение графика $y_1$ в 2 раза вдоль оси ординат. Точка возврата $(1, 0)$ остается на месте, но другие точки поднимаются. Например, точка $(2, 1)$ на графике $y_1$ переходит в $(2, 2)$.
   • $y = 2(x-1)^{\frac{2}{3}} - 2$: Сдвиг графика $y_2$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.
3. Анализ итоговой функции $y = 2(x - 1)^{\frac{2}{3}} - 2$:
   • Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
   • Область значений: так как $(x-1)^{2/3} \ge 0$, то $2(x-1)^{2/3} \ge 0$, и $y \ge -2$. $E(y) = [-2; +\infty)$.
   • Точка возврата (касп) находится в точке $(1, -2)$.
   • Пересечение с осью OY (полагаем $x=0$): $y = 2(0 - 1)^{\frac{2}{3}} - 2 = 2(1) - 2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
   • Пересечение с осью OX (полагаем $y=0$): $0 = 2(x - 1)^{\frac{2}{3}} - 2 \Rightarrow 2 = 2(x - 1)^{\frac{2}{3}} \Rightarrow 1 = (x - 1)^{\frac{2}{3}} \Rightarrow 1 = (x-1)^2 \Rightarrow x-1 = \pm 1$. Отсюда $x=2$ или $x=0$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.
   • Дополнительные точки: при $x=9$, $y = 2(8)^{2/3} - 2 = 2(4)-2=6$. Точка $(9, 6)$. При $x=-7$, $y = 2(-8)^{2/3} - 2 = 2(4)-2=6$. Точка $(-7, 6)$.

Ответ: График функции $y = 2(x - 1)^{\frac{2}{3}} - 2$ представляет собой график функции $y=x^{2/3}$, сдвинутый на 1 единицу вправо, растянутый в 2 раза по вертикали и сдвинутый на 2 единицы вниз. График имеет точку возврата в точке $(1, -2)$ и проходит через точки $(0,0)$ и $(2,0)$. Он симметричен относительно вертикальной прямой $x=1$. Область значений функции — $[-2, +\infty)$.

б) $y = -\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} + 2$

Для построения графика используем преобразования базовой функции $y_0 = x^{-\frac{1}{4}}$, или $y_0 = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$.

1. Базовый график $y_0 = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$.
   • Область определения: $x > 0$, т.е. $D(y_0) = (0; +\infty)$.
   • График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.
   • Функция убывающая, все значения положительны.
   • Ключевые точки: $(1, 1)$, $(16, 1/2)$.
2. Преобразования:
   • $y_1 = \frac{1}{\sqrt[4]{x+4}}$: Сдвиг графика $y_0$ на 4 единицы влево. Вертикальная асимптота смещается на $x=-4$. Область определения становится $x > -4$.
   • $y_2 = -\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}}$: Симметричное отражение графика $y_1$ относительно оси абсцисс.
   • $y = -\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} + 2$: Сдвиг графика $y_2$ на 2 единицы вверх. Горизонтальная асимптота смещается на $y=2$.
3. Анализ итоговой функции $y = -\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} + 2$:
   • Область определения: $x+4 > 0 \Rightarrow x > -4$. $D(y) = (-4; +\infty)$.
   • Область значений: $\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} > 0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} < 0 \Rightarrow y < 2$. $E(y) = (-\infty; 2)$.
   • Асимптоты: вертикальная $x=-4$, горизонтальная $y=2$.
   • Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = -\frac{1}{\sqrt[4]{4}} + 2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} + 2 = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1.29$. Точка $(0, 2 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
   • Пересечение с осью OX ($y=0$): $0 = -\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} + 2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} = 2 \Rightarrow \sqrt[4]{x+4} = \frac{1}{2} \Rightarrow x+4 = \frac{1}{16} \Rightarrow x = -3\frac{15}{16}$. Точка $(-3\frac{15}{16}, 0)$.
   • Дополнительные точки: при $x=-3$, $y = -\frac{1}{\sqrt[4]{1}} + 2 = 1$. Точка $(-3, 1)$. При $x=12$, $y = -\frac{1}{\sqrt[4]{16}} + 2 = -\frac{1}{2} + 2 = 1.5$. Точка $(12, 1.5)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} + 2$ получается из графика $y = 1/\sqrt[4]{x}$ сдвигом на 4 влево, отражением относительно оси OX и сдвигом на 2 вверх. График расположен в области $x > -4$, приближаясь к вертикальной асимптоте $x=-4$ слева и к горизонтальной асимптоте $y=2$ при $x \to \infty$. Функция возрастающая на всей области определения. Область значений $(-\infty; 2)$.

в) $y = -(x + 2)^{\frac{3}{2}} + 1$

Строим график с помощью преобразований базовой функции $y_0 = x^{\frac{3}{2}}$, или $y_0 = \sqrt{x^3}$.

1. Базовый график $y_0 = x^{\frac{3}{2}}$.
   • Область определения: $x \ge 0$, т.е. $D(y_0) = [0; +\infty)$.
   • График начинается в точке $(0, 0)$ и монотонно возрастает.
   • Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 8)$.
2. Преобразования:
   • $y_1 = (x+2)^{\frac{3}{2}}$: Сдвиг графика $y_0$ на 2 единицы влево. Начальная точка смещается в $(-2, 0)$. Область определения $x \ge -2$.
   • $y_2 = -(x+2)^{\frac{3}{2}}$: Симметричное отражение графика $y_1$ относительно оси абсцисс. График теперь убывает от начальной точки.
   • $y = -(x+2)^{\frac{3}{2}} + 1$: Сдвиг графика $y_2$ на 1 единицу вверх. Начальная точка смещается в $(-2, 1)$.
3. Анализ итоговой функции $y = -(x + 2)^{\frac{3}{2}} + 1$:
   • Область определения: $x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$. $D(y) = [-2; +\infty)$.
   • Область значений: $(x+2)^{\frac{3}{2}} \ge 0 \Rightarrow -(x+2)^{\frac{3}{2}} \le 0 \Rightarrow y \le 1$. $E(y) = (-\infty; 1]$.
   • Начальная точка графика: $(-2, 1)$.
   • Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = -(0+2)^{\frac{3}{2}} + 1 = -2\sqrt{2} + 1 \approx -1.83$. Точка $(0, 1-2\sqrt{2})$.
   • Пересечение с осью OX ($y=0$): $0 = -(x+2)^{\frac{3}{2}} + 1 \Rightarrow (x+2)^{\frac{3}{2}} = 1 \Rightarrow x+2 = 1 \Rightarrow x = -1$. Точка $(-1, 0)$.
   • Дополнительная точка: при $x=2$, $y = -(2+2)^{3/2} + 1 = -4^{3/2} + 1 = -8+1 = -7$. Точка $(2, -7)$.

Ответ: График функции $y = -(x + 2)^{\frac{3}{2}} + 1$ — это ветвь параболы, которая получается из графика $y=x^{3/2}$ сдвигом на 2 влево, отражением относительно оси OX и сдвигом на 1 вверх. График начинается в точке $(-2, 1)$, убывает на всей области определения $[-2, +\infty)$ и пересекает оси координат в точках $(-1, 0)$ и $(0, 1-2\sqrt{2})$.

г) $y = 1,5(x - 3)^{-\frac{2}{7}} - 4$

Строим график с помощью преобразований базовой функции $y_0 = x^{-\frac{2}{7}}$, или $y_0 = \frac{1}{\sqrt[7]{x^2}}$.

1. Базовый график $y_0 = x^{-\frac{2}{7}}$.
   • Область определения: $x \neq 0$, т.е. $D(y_0) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
   • Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
   • Асимптоты: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=0$.
   • Ключевые точки: $(1, 1)$, $(-1, 1)$. При $x \to 0$, $y \to +\infty$.
2. Преобразования:
   • $y_1 = (x-3)^{-\frac{2}{7}}$: Сдвиг графика $y_0$ на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота смещается на $x=3$.
   • $y_2 = 1,5(x-3)^{-\frac{2}{7}}$: Растяжение графика $y_1$ в 1,5 раза вдоль оси ординат.
   • $y = 1,5(x-3)^{-\frac{2}{7}} - 4$: Сдвиг графика $y_2$ на 4 единицы вниз. Горизонтальная асимптота смещается на $y=-4$.
3. Анализ итоговой функции $y = 1,5(x - 3)^{-\frac{2}{7}} - 4$:
   • Область определения: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
   • Область значений: $(x-3)^{-2/7} > 0 \Rightarrow 1,5(x-3)^{-2/7} > 0 \Rightarrow y > -4$. $E(y) = (-4; +\infty)$.
   • Асимптоты: вертикальная $x=3$, горизонтальная $y=-4$.
   • График симметричен относительно прямой $x=3$.
   • Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = 1,5(-3)^{-2/7} - 4 = \frac{1,5}{\sqrt[7]{9}} - 4 \approx -2.9$. Точка $(0, \frac{1,5}{\sqrt[7]{9}} - 4)$.
   • Пересечение с осью OX ($y=0$): $0 = 1,5(x-3)^{-2/7} - 4 \Rightarrow (x-3)^{-2/7} = \frac{4}{1,5} = \frac{8}{3} \Rightarrow (x-3)^{2/7} = \frac{3}{8} \Rightarrow (x-3)^2 = (\frac{3}{8})^7 \Rightarrow x-3 = \pm \sqrt{(\frac{3}{8})^7} = \pm (\frac{3}{8})^{3.5}$. $x = 3 \pm (\frac{3}{8})^{3.5}$. Это точки, очень близкие к асимптоте $x=3$.
   • Дополнительные точки: при $x=4$, $y = 1,5(1)^{-2/7} - 4 = 1,5 - 4 = -2,5$. Точка $(4, -2.5)$. В силу симметрии, при $x=2$, $y$ также равен $-2,5$. Точка $(2, -2.5)$.

Ответ: График функции $y = 1,5(x - 3)^{-\frac{2}{7}} - 4$ получается из графика $y=x^{-2/7}$ сдвигом на 3 вправо, растяжением в 1,5 раза по вертикали и сдвигом на 4 вниз. График состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=3$. Ветви уходят на $+\infty$ при приближении к $x=3$ с обеих сторон. При $x \to \pm\infty$ график приближается к горизонтальной асимптоте $y=-4$ сверху. Область значений $(-4, +\infty)$.