Номер 38.39, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.39, страница 152.

38.39 Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:

a) $2x^5 + x^3 + 5x - 80 = \sqrt[3]{14 - 3x}$;

б) $\sqrt[4]{10 + 3x} = 74 - x^5 - 3x^3 - 8x$.

а) $2x^5 + x^3 + 5x - 80 = \sqrt[3]{14 - 3x}$

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:

$f(x) = 2x^5 + x^3 + 5x - 80$

$g(x) = \sqrt[3]{14 - 3x}$

Обе функции определены для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.

Исследуем на монотонность функцию $f(x)$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (2x^5 + x^3 + 5x - 80)' = 10x^4 + 3x^2 + 5$

Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) = 10x^4 + 3x^2 + 5 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Исследуем на монотонность функцию $g(x)$. Найдем ее производную:

$g'(x) = (\sqrt[3]{14 - 3x})' = ((14 - 3x)^{1/3})' = \frac{1}{3}(14 - 3x)^{-2/3} \cdot (-3) = -\frac{1}{\sqrt[3]{(14 - 3x)^2}}$

При $x \ne 14/3$, знаменатель $\sqrt[3]{(14-3x)^2}$ всегда положителен. Значит, $g'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения производной. Следовательно, функция $g(x)$ является строго убывающей на всей числовой прямой.

Уравнение имеет вид $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ — строго возрастающая функция, а $g(x)$ — строго убывающая. Такое уравнение может иметь не более одного корня. Найдем этот корень подбором.

Проверим значение $x=2$:

Левая часть: $f(2) = 2(2)^5 + (2)^3 + 5(2) - 80 = 2 \cdot 32 + 8 + 10 - 80 = 64 + 18 - 80 = 2$.

Правая часть: $g(2) = \sqrt[3]{14 - 3(2)} = \sqrt[3]{14 - 6} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Так как $f(2) = g(2)$, то $x=2$ является корнем уравнения. Поскольку этот корень единственный, других решений нет.

Ответ: $x=2$.

б) $\sqrt[4]{10 + 3x} = 74 - x^5 - 3x^3 - 8x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$\sqrt[4]{10 + 3x} + x^5 + 3x^3 + 8x = 74$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{10 + 3x} + x^5 + 3x^3 + 8x$.

Найдем область определения функции $f(x)$. Выражение под корнем четвертой степени должно быть неотрицательным:

$10 + 3x \ge 0 \implies 3x \ge -10 \implies x \ge -10/3$.

Таким образом, область определения функции $D(f) = [-10/3, +\infty)$.

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность на ее области определения. Функция $f(x)$ представляет собой сумму двух функций: $h_1(x) = \sqrt[4]{10 + 3x}$ и $h_2(x) = x^5 + 3x^3 + 8x$.

Функция $h_1(x)$ является композицией возрастающей функции $y = \sqrt[4]{u}$ (для $u \ge 0$) и возрастающей линейной функции $u = 10 + 3x$, следовательно, $h_1(x)$ является строго возрастающей на своей области определения.

Найдем производную функции $h_2(x)$:

$h_2'(x) = (x^5 + 3x^3 + 8x)' = 5x^4 + 9x^2 + 8$.

Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $h_2'(x) = 5x^4 + 9x^2 + 8 > 0$ при всех $x$. Следовательно, функция $h_2(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой, и в частности на $D(f)$.

Функция $f(x)$ является суммой двух строго возрастающих функций, поэтому она также является строго возрастающей на своей области определения $[-10/3, +\infty)$.

Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает, уравнение $f(x) = 74$ может иметь не более одного корня. Найдем этот корень подбором.

Проверим значение $x=2$. Это значение входит в область определения, так как $2 > -10/3$.

$f(2) = \sqrt[4]{10 + 3(2)} + 2^5 + 3(2)^3 + 8(2) = \sqrt[4]{10+6} + 32 + 3 \cdot 8 + 16 = \sqrt[4]{16} + 32 + 24 + 16 = 2 + 72 = 74$.

Так как $f(2) = 74$, то $x=2$ является корнем уравнения. Поскольку этот корень единственный, других решений нет.

Ответ: $x=2$.