Номер 39.4, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.4, страница 153.

Найдите значение выражения:

39.4 a) $2^{5,3} \cdot 2^{-0,3};$

б) $7^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{3,5};$

в) $3^{6,8} \cdot 3^{-5,8};$

г) $\left(\frac{3}{4}\right)^{3,7} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{-0,7}.$

а) $2^{5,3} \cdot 2^{-0,3}$

Для решения данного примера воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В нашем случае основание $a=2$, а показатели степеней $m=5,3$ и $n=-0,3$.

$2^{5,3} \cdot 2^{-0,3} = 2^{5,3 + (-0,3)} = 2^{5,3 - 0,3} = 2^5$.

Теперь вычислим значение $2^5$.

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Ответ: $32$.

б) $7^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{3,5}$

Используем то же свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Сначала преобразуем показатель $-\frac{1}{2}$ в десятичную дробь: $-\frac{1}{2} = -0,5$.

Основание $a=7$, показатели степеней $m=-0,5$ и $n=3,5$.

$7^{-0,5} \cdot 7^{3,5} = 7^{-0,5 + 3,5} = 7^3$.

Теперь вычислим значение $7^3$.

$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.

Ответ: $343$.

в) $3^{6,8} \cdot 3^{-5,8}$

Снова применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Основание $a=3$, показатели степеней $m=6,8$ и $n=-5,8$.

$3^{6,8} \cdot 3^{-5,8} = 3^{6,8 + (-5,8)} = 3^{6,8 - 5,8} = 3^1$.

Любое число в первой степени равно самому себе.

$3^1 = 3$.

Ответ: $3$.

г) $(\frac{3}{4})^{3,7} \cdot (\frac{3}{4})^{-0,7}$

Применяем то же свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В этом примере основание $a = \frac{3}{4}$, а показатели степеней $m=3,7$ и $n=-0,7$.

$(\frac{3}{4})^{3,7} \cdot (\frac{3}{4})^{-0,7} = (\frac{3}{4})^{3,7 + (-0,7)} = (\frac{3}{4})^{3,7 - 0,7} = (\frac{3}{4})^3$.

Теперь возведем дробь в степень. Для этого нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.

$(\frac{3}{4})^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$.

Ответ: $\frac{27}{64}$.