Номер 39.10, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.10, страница 154.

39.10 Найдите значение аргумента $x$, при котором функция $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$

принимает заданное значение:

а) $\frac{1}{25}$;

б) $125$;

в) $\frac{1}{25\sqrt{5}}$;

г) $625\sqrt{5}$.

Для решения задачи необходимо подставить заданное значение функции $y$ в уравнение $y = (\frac{1}{5})^x$ и найти соответствующее значение аргумента $x$. Для этого нужно привести обе части получаемого уравнения к одному основанию.

а)

Подставим значение $y = \frac{1}{25}$ в уравнение функции: $$(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{25}$$ Представим правую часть уравнения как степень с основанием $\frac{1}{5}$. Поскольку $25 = 5^2$, то $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = (\frac{1}{5})^2$. Получаем уравнение: $$(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^2$$ Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $$x = 2$$

Ответ: $2$.

б)

Подставим значение $y = 125$ в уравнение функции: $$(\frac{1}{5})^x = 125$$ Представим обе части уравнения как степени с основанием 5. Левая часть: $(\frac{1}{5})^x = (5^{-1})^x = 5^{-x}$. Правая часть: $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$. Получаем уравнение: $$5^{-x} = 5^3$$ Приравниваем показатели степеней: $$-x = 3$$ $$x = -3$$

Ответ: $-3$.

в)

Подставим значение $y = \frac{1}{25\sqrt{5}}$ в уравнение функции: $$(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{25\sqrt{5}}$$ Представим обе части уравнения как степени с основанием 5. Левая часть: $(\frac{1}{5})^x = 5^{-x}$. Правая часть: используем свойства степеней $25 = 5^2$ и $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$. $$25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{2 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}$$ Следовательно, $\frac{1}{25\sqrt{5}} = \frac{1}{5^{\frac{5}{2}}} = 5^{-\frac{5}{2}}$. Получаем уравнение: $$5^{-x} = 5^{-\frac{5}{2}}$$ Приравниваем показатели степеней: $$-x = -\frac{5}{2}$$ $$x = \frac{5}{2}$$

Ответ: $\frac{5}{2}$.

г)

Подставим значение $y = 625\sqrt{5}$ в уравнение функции: $$(\frac{1}{5})^x = 625\sqrt{5}$$ Представим обе части уравнения как степени с основанием 5. Левая часть: $(\frac{1}{5})^x = 5^{-x}$. Правая часть: $625 = 5^4$ и $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$. $$625\sqrt{5} = 5^4 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{4 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{9}{2}}$$ Получаем уравнение: $$5^{-x} = 5^{\frac{9}{2}}$$ Приравниваем показатели степеней: $$-x = \frac{9}{2}$$ $$x = -\frac{9}{2}$$

Ответ: $-\frac{9}{2}$.