Номер 39.14, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.14, страница 154.

39.14 Сравните числа:

a) $1,3^{34}$ и $1,3^{40}$;

б) $(\frac{7}{9})^{16,2}$ и $(\frac{7}{9})^{-3}$;

в) $12,1^{\sqrt{3}}$ и $12,1^{\sqrt{5}}$;

г) $(0,65)^{-\sqrt{2}}$ и $(0,65)^{\frac{1}{2}}$.

а) Для сравнения чисел $1,3^{34}$ и $1,3^{40}$ используется свойство показательной функции $y = a^x$.

В данном случае основание $a = 1,3$. Так как $a > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$.

Сравним показатели степеней: $34 < 40$.

Поскольку функция возрастающая, меньшему показателю степени соответствует меньшее значение числа. Таким образом, $1,3^{34} < 1,3^{40}$.

Ответ: $1,3^{34} < 1,3^{40}$.

б) Для сравнения чисел $(\frac{7}{9})^{16,2}$ и $(\frac{7}{9})^{-3}$ рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{7}{9})^x$.

Основание степени $a = \frac{7}{9}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.

Сравним показатели степеней: $16,2 > -3$.

Поскольку функция убывающая, большему показателю степени соответствует меньшее значение числа. Таким образом, $(\frac{7}{9})^{16,2} < (\frac{7}{9})^{-3}$.

Ответ: $(\frac{7}{9})^{16,2} < (\frac{7}{9})^{-3}$.

в) Для сравнения чисел $12,1^{\sqrt{3}}$ и $12,1^{\sqrt{5}}$ рассмотрим показательную функцию $y = 12,1^x$.

Основание степени $a = 12,1 > 1$, следовательно, функция является возрастающей. Большему показателю степени соответствует большее значение функции.

Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Так как $3 < 5$, то и $\sqrt{3} < \sqrt{5}$.

Следовательно, $12,1^{\sqrt{3}} < 12,1^{\sqrt{5}}$.

Ответ: $12,1^{\sqrt{3}} < 12,1^{\sqrt{5}}$.

г) Для сравнения чисел $(0,65)^{-\sqrt{2}}$ и $(0,65)^{\frac{1}{2}}$ рассмотрим показательную функцию $y = (0,65)^x$.

Основание степени $a = 0,65$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей. Большему показателю степени соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели степеней: $-\sqrt{2}$ и $\frac{1}{2}$. Поскольку $-\sqrt{2}$ - отрицательное число, а $\frac{1}{2}$ - положительное, очевидно, что $-\sqrt{2} < \frac{1}{2}$.

Поскольку функция убывающая, меньшему показателю степени соответствует большее значение числа. Таким образом, $(0,65)^{-\sqrt{2}} > (0,65)^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $(0,65)^{-\sqrt{2}} > (0,65)^{\frac{1}{2}}$.