Номер 39.17, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.17, страница 155.

Исследуйте функцию на монотонность:

39.17 a) $y = (\sqrt{3})^x$;

б) $y = 0,3^x$;

в) $y = 21^x$;

г) $y = \left(\frac{4}{\sqrt{19}}\right)^x$.

а) Для того чтобы исследовать показательную функцию $y = a^x$ на монотонность, нужно сравнить её основание $a$ с единицей. Если $a > 1$, функция возрастает. Если $0 < a < 1$, функция убывает.
В данном случае функция $y = (\sqrt{3})^x$. Основание $a = \sqrt{3}$.
Сравним основание с единицей. Так как $3 > 1$, то и $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, следовательно, $\sqrt{3} > 1$.
Поскольку основание больше единицы, функция является возрастающей на всей своей области определения.
Ответ: функция возрастающая.

б) Рассмотрим функцию $y = 0.3^x$. Это показательная функция с основанием $a = 0.3$.
Сравним основание с единицей. Очевидно, что $0 < 0.3 < 1$.
Так как основание находится в интервале $(0, 1)$, функция является убывающей на всей своей области определения.
Ответ: функция убывающая.

в) Дана функция $y = 21^x$. Это показательная функция, у которой основание $a = 21$.
Сравним основание $a = 21$ с единицей.
Так как $21 > 1$, основание больше единицы.
Следовательно, функция является возрастающей на всей своей области определения.
Ответ: функция возрастающая.

г) Исследуем функцию $y = \left(\frac{4}{\sqrt{19}}\right)^x$. Основание этой показательной функции $a = \frac{4}{\sqrt{19}}$.
Для определения монотонности сравним основание $a$ с единицей. Для этого сравним числитель 4 и знаменатель $\sqrt{19}$.
Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{19})^2 = 19$.
Так как $16 < 19$, то и $4 < \sqrt{19}$.
Это означает, что числитель дроби $\frac{4}{\sqrt{19}}$ меньше знаменателя, поэтому сама дробь меньше единицы.
Таким образом, основание $a$ удовлетворяет условию $0 < \frac{4}{\sqrt{19}} < 1$. Значит, функция является убывающей на всей своей области определения.
Ответ: функция убывающая.