Номер 39.24, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.24, страница 156.

39.24 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2^x, & \text{если } x \ge 0, \\ 3x + 1, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-3); f(-2,5); f(0); f(2); f(3,5);$

б) постройте график функции $y = f(x);$

в) прочитайте график функции.

а) Вычислите $f(-3)$; $f(-2,5)$; $f(0)$; $f(2)$; $f(3,5)$;

Для вычисления значений функции $f(x)$ необходимо определить, какому из двух промежутков, $x \ge 0$ или $x < 0$, принадлежит аргумент $x$.

При $x = -3$: так как $-3 < 0$, используем формулу $f(x) = 3x + 1$.
$f(-3) = 3 \cdot (-3) + 1 = -9 + 1 = -8$.

При $x = -2,5$: так как $-2,5 < 0$, используем формулу $f(x) = 3x + 1$.
$f(-2,5) = 3 \cdot (-2,5) + 1 = -7,5 + 1 = -6,5$.

При $x = 0$: так как $0 \ge 0$, используем формулу $f(x) = 2^x$.
$f(0) = 2^0 = 1$.

При $x = 2$: так как $2 \ge 0$, используем формулу $f(x) = 2^x$.
$f(2) = 2^2 = 4$.

При $x = 3,5$: так как $3,5 \ge 0$, используем формулу $f(x) = 2^x$.
$f(3,5) = 2^{3,5} = 2^{7/2} = \sqrt{2^7} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.

Ответ: $f(-3)=-8$; $f(-2,5)=-6,5$; $f(0)=1$; $f(2)=4$; $f(3,5)=8\sqrt{2}$.

б) постройте график функции $y = f(x)$;

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей, построенных на разных промежутках.

1. При $x < 0$ функция имеет вид $y = 3x + 1$. Это линейная функция, её график — прямая. Так как $x < 0$, мы строим часть этой прямой (луч). Для построения найдем координаты двух точек:
Если $x = -1$, то $y = 3(-1) + 1 = -2$. Получаем точку $(-1, -2)$.
Если $x = -2$, то $y = 3(-2) + 1 = -5$. Получаем точку $(-2, -5)$.
Найдём предел функции при $x$, стремящемся к 0 слева: $\lim_{x \to 0^-} (3x+1) = 1$. Это означает, что луч заканчивается в точке $(0, 1)$, которая не включается в эту часть графика (на графике её обозначают выколотой точкой).

2. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = 2^x$. Это показательная функция. Найдём несколько точек для построения этой части графика:
Если $x = 0$, то $y = 2^0 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
Если $x = 1$, то $y = 2^1 = 2$. Получаем точку $(1, 2)$.
Если $x = 2$, то $y = 2^2 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.
Точка $(0, 1)$ принадлежит этой части графика (на графике её обозначают закрашенной точкой).

3. Совмещаем обе части на одной координатной плоскости. Поскольку предел левой части в точке $x=0$ равен значению правой части в этой же точке, функция является непрерывной. График представляет собой единую линию, состоящую из луча прямой $y = 3x+1$ для $x < 0$ и кривой показательной функции $y = 2^x$ для $x \ge 0$, которые соединяются в точке $(0, 1)$.

Ответ: График функции состоит из луча прямой $y=3x+1$, расположенного в левой полуплоскости и заканчивающегося в точке $(0, 1)$, и графика показательной функции $y=2^x$, расположенного в правой полуплоскости и начинающегося из точки $(0, 1)$.

в) прочитайте график функции.

Основные свойства функции $y = f(x)$:

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: функция принимает все действительные значения. $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции: значение функции равно нулю при $3x+1=0$, откуда $x = -1/3$. Уравнение $2^x=0$ решений не имеет. Таким образом, функция имеет один нуль: $x = -1/3$.

4. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in (-1/3; +\infty)$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1/3)$.

5. Монотонность:
При $x < 0$ функция $y = 3x+1$ возрастает (так как угловой коэффициент $3 > 0$).
При $x \ge 0$ функция $y = 2^x$ возрастает (так как основание степени $2 > 1$).
Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, она является возрастающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

6. Точки экстремума: так как функция является монотонно возрастающей, точек локального максимума и минимума у нее нет.

7. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как она непрерывна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, и в точке $x=0$ выполняется условие непрерывности: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1$.

8. Четность, нечетность: функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как её график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат. Например, $f(2) = 4$, а $f(-2) = -5$, при этом $f(-2) \ne f(2)$ и $f(-2) \ne -f(2)$.

9. Асимптоты: при $x \to -\infty$ график функции асимптотически приближается к прямой $y = 3x+1$, которая является наклонной асимптотой. При $x \to +\infty$ асимптот нет.

Ответ: Основные свойства функции (область определения и значений, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы, непрерывность, четность, асимптоты) перечислены в пунктах 1-9.