Номер 39.31, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.31, страница 157.

39.31 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке:

а) $y = 3^{x - 1} + 8$, $[-3; 1]$;

б) $y = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x + 4$, $[-1; 2]$;

в) $y = 7^{x - 2} + 9$, $[0; 2]$;

г) $y = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 13$, $[2; 3]$.

а) Дана функция $y = 3^{x-1} + 8$ на промежутке $[-3; 1]$.

Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Следовательно, наименьшее значение функции на заданном промежутке достигается в его левой крайней точке ($x = -3$), а наибольшее — в правой ($x = 1$).

Найдем наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(-3) = 3^{-3-1} + 8 = 3^{-4} + 8 = \frac{1}{81} + 8 = 8\frac{1}{81}$.

Найдем наибольшее значение функции:

$y_{наиб} = y(1) = 3^{1-1} + 8 = 3^0 + 8 = 1 + 8 = 9$.

Ответ: наименьшее значение $8\frac{1}{81}$, наибольшее значение $9$.

б) Дана функция $y = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x + 4$ на промежутке $[-1; 2]$.

Поскольку основание степени $0 < \frac{3}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Следовательно, наибольшее значение функции на заданном промежутке достигается в его левой крайней точке ($x = -1$), а наименьшее — в правой ($x = 2$).

Найдем наибольшее значение функции:

$y_{наиб} = y(-1) = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-1} + 4 = 5 \cdot \frac{5}{3} + 4 = \frac{25}{3} + 4 = 8\frac{1}{3} + 4 = 12\frac{1}{3}$.

Найдем наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(2) = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 + 4 = 5 \cdot \frac{9}{25} + 4 = \frac{9}{5} + 4 = 1,8 + 4 = 5,8$.

Ответ: наименьшее значение $5,8$, наибольшее значение $12\frac{1}{3}$.

в) Дана функция $y = 7^{x-2} + 9$ на промежутке $[0; 2]$.

Поскольку основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при наименьшем значении $x$ из промежутка, а наибольшее — при наибольшем.

Найдем наименьшее значение (при $x = 0$):

$y_{наим} = y(0) = 7^{0-2} + 9 = 7^{-2} + 9 = \frac{1}{49} + 9 = 9\frac{1}{49}$.

Найдем наибольшее значение (при $x = 2$):

$y_{наиб} = y(2) = 7^{2-2} + 9 = 7^0 + 9 = 1 + 9 = 10$.

Ответ: наименьшее значение $9\frac{1}{49}$, наибольшее значение $10$.

г) Дана функция $y = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 13$ на промежутке $[2; 3]$.

Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, наибольшее значение функции достигается при наименьшем значении $x$ из промежутка, а наименьшее — при наибольшем.

Найдем наибольшее значение (при $x = 2$):

$y_{наиб} = y(2) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 13 = 4 \cdot \frac{1}{4} + 13 = 1 + 13 = 14$.

Найдем наименьшее значение (при $x = 3$):

$y_{наим} = y(3) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 13 = 4 \cdot \frac{1}{8} + 13 = \frac{1}{2} + 13 = 13,5$.

Ответ: наименьшее значение $13,5$, наибольшее значение $14$.