Номер 39.37, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.37, страница 158.

Постройте график функции:

39.37 а) $y = 2^x + 1$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$;

В) $y = 4^x - 1$;

Г) $y = (0,1)^x + 2$.

а) Чтобы построить график функции $y = 2^x + 1$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сначала построим график основной показательной функции $y = 2^x$. Это возрастающая функция, проходящая через точку $(0, 1)$. Горизонтальная асимптота этой функции — ось абсцисс ($y=0$).
2. График функции $y = 2^x + 1$ получается из графика $y = 2^x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вверх.
3. Горизонтальная асимптота также смещается на 1 единицу вверх и становится прямой $y=1$.
4. Найдем несколько точек для построения:
   • при $x = -1$, $y = 2^{-1} + 1 = 0.5 + 1 = 1.5$
   • при $x = 0$, $y = 2^0 + 1 = 1 + 1 = 2$
   • при $x = 1$, $y = 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3$
   • при $x = 2$, $y = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

Ответ: График функции $y = 2^x + 1$ — это график функции $y = 2^x$, сдвинутый на 1 единицу вверх. Функция возрастающая, область определения — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), область значений — $E(y) = (1; +\infty)$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=1$. График проходит через точки $(-1; 1.5)$, $(0; 2)$, $(1; 3)$.

б) Чтобы построить график функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сначала построим график основной показательной функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, это убывающая функция, проходящая через точку $(0, 1)$. Горизонтальная асимптота — ось абсцисс ($y=0$).
2. График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$ получается из графика $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ путем сдвига вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз.
3. Горизонтальная асимптота также смещается на 2 единицы вниз и становится прямой $y=-2$.
4. Найдем несколько точек для построения:
   • при $x = -2$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} - 2 = 9 - 2 = 7$
   • при $x = -1$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} - 2 = 3 - 2 = 1$
   • при $x = 0$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^0 - 2 = 1 - 2 = -1$
   • при $x = 1$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^1 - 2 = \frac{1}{3} - 2 = -1\frac{2}{3}$

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$ — это график функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, сдвинутый на 2 единицы вниз. Функция убывающая, область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений — $E(y) = (-2; +\infty)$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=-2$. График проходит через точки $(-1; 1)$, $(0; -1)$, $(1; -1\frac{2}{3})$.

в) Чтобы построить график функции $y = 4^x - 1$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сначала построим график основной показательной функции $y = 4^x$. Так как основание $4 > 1$, это возрастающая функция, проходящая через точку $(0, 1)$. Горизонтальная асимптота — ось абсцисс ($y=0$).
2. График функции $y = 4^x - 1$ получается из графика $y = 4^x$ путем сдвига вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вниз.
3. Горизонтальная асимптота также смещается на 1 единицу вниз и становится прямой $y=-1$.
4. Найдем несколько точек для построения:
   • при $x = -1$, $y = 4^{-1} - 1 = 0.25 - 1 = -0.75$
   • при $x = 0$, $y = 4^0 - 1 = 1 - 1 = 0$
   • при $x = 1$, $y = 4^1 - 1 = 4 - 1 = 3$
   • при $x = 1.5$, $y = 4^{1.5} - 1 = (4^{1/2})^3 - 1 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$

Ответ: График функции $y = 4^x - 1$ — это график функции $y = 4^x$, сдвинутый на 1 единицу вниз. Функция возрастающая, область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений — $E(y) = (-1; +\infty)$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=-1$. График проходит через начало координат $(0; 0)$ и точки $(-1; -0.75)$, $(1; 3)$.

г) Чтобы построить график функции $y = (0,1)^x + 2$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сначала построим график основной показательной функции $y = (0,1)^x$. Так как основание $0 < 0,1 < 1$, это убывающая функция, проходящая через точку $(0, 1)$. Горизонтальная асимптота — ось абсцисс ($y=0$).
2. График функции $y = (0,1)^x + 2$ получается из графика $y = (0,1)^x$ путем сдвига вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вверх.
3. Горизонтальная асимптота также смещается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.
4. Найдем несколько точек для построения:
   • при $x = -1$, $y = (0,1)^{-1} + 2 = 10 + 2 = 12$
   • при $x = 0$, $y = (0,1)^0 + 2 = 1 + 2 = 3$
   • при $x = 1$, $y = (0,1)^1 + 2 = 0,1 + 2 = 2,1$

Ответ: График функции $y = (0,1)^x + 2$ — это график функции $y = (0,1)^x$, сдвинутый на 2 единицы вверх. Функция убывающая, область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений — $E(y) = (2; +\infty)$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=2$. График проходит через точки $(-1; 12)$, $(0; 3)$, $(1; 2.1)$.