Номер 39.44, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.44, страница 159.

Решите уравнение:

39.44 a) $2^x - 1 = \sqrt{x}$;

б) $(\frac{1}{4})^x = \sqrt{x} + 1$;

в) $3^x - 1 = -\sqrt{x}$;

г) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x} + 1.

а) $2^x - 1 = \sqrt{x}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия квадратного корня из $x$, должно выполняться условие $x \ge 0$.

Рассмотрим две функции: левую часть уравнения $f(x) = 2^x - 1$ и правую часть $g(x) = \sqrt{x}$.

Функция $f(x) = 2^x - 1$ является показательной функцией с основанием $2 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей своей области определения, включая $x \ge 0$.

Функция $g(x) = \sqrt{x}$ также является строго возрастающей на своей области определения $x \ge 0$.

Поскольку обе функции возрастают, уравнение может иметь несколько корней. Попробуем найти решения подбором, проверяя целые значения из ОДЗ.

Проверим $x=0$:
Левая часть: $2^0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Правая часть: $\sqrt{0} = 0$.
Так как $0 = 0$, $x=0$ является корнем уравнения.

Проверим $x=1$:
Левая часть: $2^1 - 1 = 2 - 1 = 1$.
Правая часть: $\sqrt{1} = 1$.
Так как $1 = 1$, $x=1$ также является корнем уравнения.

Чтобы доказать, что других корней нет, рассмотрим поведение функций. При $0 < x < 1$ график функции $g(x) = \sqrt{x}$ лежит выше графика прямой $y=x$, а график выпуклой функции $f(x) = 2^x - 1$ лежит ниже ее хорды, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$, то есть ниже прямой $y=x$. Таким образом, на интервале $(0, 1)$ имеем $2^x-1 < x < \sqrt{x}$, и других корней здесь нет. При $x > 1$ показательная функция $2^x$ растет гораздо быстрее, чем степенная функция $\sqrt{x}$, поэтому их разность $2^x - 1 - \sqrt{x}$ будет только увеличиваться. Следовательно, других пересечений графиков не будет.

Формально, можно рассмотреть функцию $h(x) = 2^x - 1 - \sqrt{x}$. Её вторая производная $h''(x) = 2^x (\ln 2)^2 + \frac{1}{4x\sqrt{x}} > 0$ при $x > 0$. Это означает, что функция $h(x)$ выпукла вниз, а значит, может иметь не более двух корней. Мы нашли оба корня.

Ответ: $x=0, x=1$.

б) $(\frac{1}{4})^x = \sqrt{x} + 1$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $g(x) = \sqrt{x} + 1$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ — показательная с основанием $a = 1/4$, где $0 < a < 1$. Следовательно, $f(x)$ является строго убывающей функцией на всей своей области определения.

Функция $g(x) = \sqrt{x} + 1$ является суммой строго возрастающей функции $\sqrt{x}$ и константы, поэтому $g(x)$ — строго возрастающая функция на своей области определения $x \ge 0$.

Уравнение, в котором одна часть является строго убывающей функцией, а другая — строго возрастающей, может иметь не более одного корня. Найдем этот корень подбором.

Проверим $x=0$:
Левая часть: $(\frac{1}{4})^0 = 1$.
Правая часть: $\sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = 1$.
Так как $1 = 1$, $x=0$ является корнем уравнения.

Поскольку мы доказали, что корень может быть только один, то $x=0$ — единственное решение.

Ответ: $x=0$.

в) $3^x - 1 = -\sqrt{x}$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Рассмотрим функции $f(x) = 3^x - 1$ и $g(x) = -\sqrt{x}$.

Функция $f(x) = 3^x - 1$ — показательная с основанием $a=3 > 1$, поэтому она является строго возрастающей функцией.

Функция $g(x) = -\sqrt{x}$ является произведением $-1$ и строго возрастающей функции $\sqrt{x}$, поэтому $g(x)$ — строго убывающая функция на $x \ge 0$.

Уравнение, в котором строго возрастающая функция равна строго убывающей, может иметь не более одного решения. Найдем его подбором.

Проверим $x=0$:
Левая часть: $3^0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Правая часть: $-\sqrt{0} = 0$.
Так как $0=0$, $x=0$ — корень уравнения.

Поскольку решение единственное, это и есть ответ.

Ответ: $x=0$.

г) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x} + 1$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ и $g(x) = \sqrt{x} + 1$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ — показательная с основанием $a = 1/3$, где $0 < a < 1$. Следовательно, $f(x)$ является строго убывающей функцией.

Функция $g(x) = \sqrt{x} + 1$ является строго возрастающей функцией на $x \ge 0$.

Уравнение, где убывающая функция равна возрастающей, может иметь не более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим $x=0$:
Левая часть: $(\frac{1}{3})^0 = 1$.
Правая часть: $\sqrt{0} + 1 = 1$.
Так как $1=1$, $x=0$ — корень уравнения.

Поскольку корень единственный, мы нашли решение.

Ответ: $x=0$.