Номер 39.42, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.42, страница 159.

39.42 a) $y = 2^x$, $y = 3 - x$;

В) $y = (\sqrt{2})^x$, $y = 4 - x$;

б) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$, $y = -x - 3$;

Г) $y = \left(\frac{3}{7}\right)^x$, $y = -x - 2?$;

а) Чтобы решить уравнение $2^x = 3 - x$, рассмотрим две функции: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = 3 - x$. Решение уравнения — это абсцисса ($x$) точки пересечения графиков этих функций.

Функция $y_1 = 2^x$ — показательная с основанием $2 > 1$, поэтому она является строго возрастающей на всей области определения.

Функция $y_2 = 3 - x$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом ($k = -1$), поэтому она является строго убывающей.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение имеет не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора.

Проверим значение $x=1$:
Левая часть: $2^1 = 2$.
Правая часть: $3 - 1 = 2$.
Поскольку левая и правая части равны ($2=2$), $x=1$ является решением уравнения. Так как решение единственное, это и есть ответ.
Ответ: $1$.

б) Чтобы решить уравнение $(\frac{2}{5})^x = -x - 3$, рассмотрим функции $y_1 = (\frac{2}{5})^x$ и $y_2 = -x - 3$.

Функция $y_1 = (\frac{2}{5})^x$ — показательная с основанием $a = \frac{2}{5}$ ($0 < a < 1$), поэтому она строго убывает на всей области определения. Также, значения этой функции всегда положительны ($y_1 > 0$ для любого $x$).

Функция $y_2 = -x - 3$ — линейная, её график — прямая. Она также является убывающей.

Для определения числа решений проанализируем функцию $f(x) = y_1 - y_2 = (\frac{2}{5})^x + x + 3$. Корни исходного уравнения — это нули функции $f(x)$. Найдем наименьшее значение функции $f(x)$ с помощью производной.

$f'(x) = ((\frac{2}{5})^x + x + 3)' = (\frac{2}{5})^x \ln(\frac{2}{5}) + 1$.

Приравняем производную к нулю для поиска точки экстремума $x_0$:
$f'(x_0) = 0 \implies (\frac{2}{5})^{x_0} \ln(\frac{2}{5}) + 1 = 0 \implies (\frac{2}{5})^{x_0} = -\frac{1}{\ln(\frac{2}{5})} = \frac{1}{\ln(\frac{5}{2})}$.

Поскольку $f''(x) = (\frac{2}{5})^x (\ln(\frac{2}{5}))^2 > 0$, точка $x_0$ является точкой минимума. Оценим наименьшее значение $f(x_0) = (\frac{2}{5})^{x_0} + x_0 + 3$.

Так как $e > \frac{5}{2} > 1$, то $1 = \ln(e) > \ln(\frac{5}{2}) > 0$. Отсюда следует, что $(\frac{2}{5})^{x_0} = \frac{1}{\ln(5/2)} > 1$. Из $(\frac{2}{5})^{x_0} > 1$ и убывания функции $y=(\frac{2}{5})^x$ следует, что $x_0 < 0$. В то же время, $(\frac{2}{5})^{-1} = 2.5 > \frac{1}{\ln(5/2)} \approx 1.09$, значит $x_0 > -1$. Таким образом, $-1 < x_0 < 0$.

Тогда наименьшее значение функции: $f(x_0) = (\frac{2}{5})^{x_0} + x_0 + 3 > 1 + (-1) + 3 = 3$.

Так как минимальное значение функции $f(x)$ строго больше нуля, $f(x)$ никогда не обращается в ноль. Следовательно, графики функций $y_1$ и $y_2$ не пересекаются.
Ответ: корней нет.

в) Чтобы решить уравнение $(\sqrt{2})^x = 4 - x$, рассмотрим две функции: $y_1 = (\sqrt{2})^x$ и $y_2 = 4 - x$.

Функция $y_1 = (\sqrt{2})^x$ — показательная с основанием $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, она строго возрастает.

Функция $y_2 = 4 - x$ — линейная, она строго убывает.

Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза, значит, уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим значение $x=2$:
Левая часть: $(\sqrt{2})^2 = 2$.
Правая часть: $4 - 2 = 2$.
Равенство $2=2$ верное, следовательно $x=2$ — единственный корень уравнения.
Ответ: $2$.

г) Чтобы решить уравнение $(\frac{3}{7})^x = -x - 2$, рассмотрим функции $y_1 = (\frac{3}{7})^x$ и $y_2 = -x - 2$.

Функция $y_1 = (\frac{3}{7})^x$ — показательная с основанием $a = \frac{3}{7}$ ($0 < a < 1$), она строго убывает и всегда положительна ($y_1 > 0$).

Функция $y_2 = -x - 2$ — линейная, убывающая функция.

Для анализа решений рассмотрим функцию $f(x) = y_1 - y_2 = (\frac{3}{7})^x + x + 2$. Корни уравнения — это нули функции $f(x)$. Найдем ее наименьшее значение.

$f'(x) = (\frac{3}{7})^x \ln(\frac{3}{7}) + 1$.

В точке минимума $x_0$ производная равна нулю: $(\frac{3}{7})^{x_0} = -\frac{1}{\ln(\frac{3}{7})} = \frac{1}{\ln(\frac{7}{3})}$.

Так как $e > \frac{7}{3} > 1$, то $1 = \ln(e) > \ln(\frac{7}{3}) > 0$, и значит $(\frac{3}{7})^{x_0} = \frac{1}{\ln(7/3)} > 1$. Из этого следует, что $x_0 < 0$. С другой стороны, $(\frac{3}{7})^{-1} = \frac{7}{3} > \frac{1}{\ln(7/3)}$, из чего следует, что $x_0 > -1$. Таким образом, $-1 < x_0 < 0$.

Наименьшее значение функции $f(x)$ равно $f(x_0) = (\frac{3}{7})^{x_0} + x_0 + 2$. Используя полученные оценки: $f(x_0) > 1 + (-1) + 2 = 2$.

Минимальное значение функции $f(x)$ строго больше нуля, поэтому $f(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.