Номер 39.47, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.47, страница 159.

39.47 а) $2^x \ge \frac{2}{x}$;

б) $(\frac{1}{4})^x < -\frac{4}{x}$;

в) $5^x \le \frac{5}{x}$;

г) $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$.

а) $2^x \ge \frac{2}{x}$

Решим данное неравенство графическим методом. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства: $x \ne 0$.

Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 2^x$ и $y_2(x) = \frac{2}{x}$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1$ находится не ниже графика функции $y_2$.

• Функция $y_1 = 2^x$ — это показательная функция. Её график — возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$. Функция всегда положительна ($2^x > 0$ для любых $x$).

• Функция $y_2 = \frac{2}{x}$ — это гипербола. Её ветви расположены в I и III координатных четвертях.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

1. Случай $x < 0$.
В этом случае функция $y_1 = 2^x$ принимает положительные значения ($y_1 > 0$), а функция $y_2 = \frac{2}{x}$ принимает отрицательные значения ($y_2 < 0$).
Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, при $x < 0$ неравенство $2^x \ge \frac{2}{x}$ всегда выполняется.
Решением в этом случае является интервал $(-\infty, 0)$.

2. Случай $x > 0$.
В этом случае обе функции принимают положительные значения. Найдем точку их пересечения, решив уравнение $2^x = \frac{2}{x}$.
Легко заметить, что $x=1$ является корнем этого уравнения: $2^1 = 2$ и $\frac{2}{1} = 2$.
Поскольку на промежутке $(0, +\infty)$ функция $y_1 = 2^x$ строго возрастает, а функция $y_2 = \frac{2}{x}$ строго убывает, их графики могут пересечься только в одной точке.
При $x > 1$ (например, $x=2$) имеем $2^2 = 4$, а $\frac{2}{2} = 1$, то есть $4 \ge 1$. Значит, на промежутке $[1, +\infty)$ выполняется неравенство $2^x \ge \frac{2}{x}$.
При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$) имеем $2^{0.5} = \sqrt{2} \approx 1.41$, а $\frac{2}{0.5} = 4$, то есть $1.41 < 4$. Неравенство не выполняется.
Решением в этом случае является промежуток $[1, +\infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.

---

б) $(\frac{1}{4})^x < -\frac{4}{x}$

Решим неравенство графическим методом. ОДЗ: $x \ne 0$.

Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2(x) = -\frac{4}{x}$. Требуется найти значения $x$, для которых график $y_1$ лежит ниже графика $y_2$.

• Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ — показательная, её график — убывающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$. Функция всегда положительна.

• Функция $y_2 = -\frac{4}{x}$ — гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Рассмотрим два случая.

1. Случай $x > 0$.
В этом случае $y_1 = (\frac{1}{4})^x > 0$, а $y_2 = -\frac{4}{x} < 0$.
Положительное число не может быть меньше отрицательного, поэтому на промежутке $(0, +\infty)$ неравенство решений не имеет.

2. Случай $x < 0$.
В этом случае обе функции положительны. Найдем точку пересечения их графиков из уравнения $(\frac{1}{4})^x = -\frac{4}{x}$.
Подбором находим корень $x=-1$: $(\frac{1}{4})^{-1} = 4$ и $-\frac{4}{-1} = 4$.
На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x = 4^{-x}$ является строго убывающей, а функция $y_2 = -\frac{4}{x}$ — строго возрастающей. Следовательно, их графики пересекаются только один раз.
Чтобы определить, где выполняется неравенство $(\frac{1}{4})^x < -\frac{4}{x}$, проверим любую точку из интервалов $(-\infty, -1)$ и $(-1, 0)$.
Возьмем $x = -0.5$ из интервала $(-1, 0)$: $y_1(-0.5) = (\frac{1}{4})^{-0.5} = 4^{0.5} = 2$; $y_2(-0.5) = -\frac{4}{-0.5} = 8$. Неравенство $2 < 8$ выполняется.
Возьмем $x = -2$ из интервала $(-\infty, -1)$: $y_1(-2) = (\frac{1}{4})^{-2} = 16$; $y_2(-2) = -\frac{4}{-2} = 2$. Неравенство $16 < 2$ не выполняется.
Таким образом, решение в этом случае — интервал $(-1, 0)$.

Объединяя результаты, получаем, что решение неравенства совпадает с решением для второго случая.

Ответ: $x \in (-1, 0)$.

---

в) $5^x \le \frac{5}{x}$

Решим неравенство графически. ОДЗ: $x \ne 0$.

Рассмотрим функции $y_1(x) = 5^x$ и $y_2(x) = \frac{5}{x}$. Ищем значения $x$, при которых график $y_1$ находится не выше графика $y_2$.

• Функция $y_1 = 5^x$ — показательная, возрастающая, всегда положительная.

• Функция $y_2 = \frac{5}{x}$ — гипербола (ветви в I и III четвертях).

1. Случай $x < 0$.
Здесь $y_1 = 5^x > 0$, а $y_2 = \frac{5}{x} < 0$. Неравенство $5^x \le \frac{5}{x}$ не может выполняться. Решений нет.

2. Случай $x > 0$.
Обе функции положительны. Найдем точку пересечения из уравнения $5^x = \frac{5}{x}$.
Очевидно, что $x=1$ является корнем: $5^1 = 5$ и $\frac{5}{1} = 5$.
На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y_1=5^x$ строго возрастает, а $y_2=\frac{5}{x}$ строго убывает, поэтому точка пересечения единственная.
Нам нужно, чтобы $5^x \le \frac{5}{x}$.
При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $5^{0.5} = \sqrt{5} \approx 2.23$, $\frac{5}{0.5} = 10$. Неравенство $\sqrt{5} \le 10$ выполняется.
При $x > 1$ (например, $x=2$): $5^2 = 25$, $\frac{5}{2} = 2.5$. Неравенство $25 \le 2.5$ не выполняется.
Следовательно, решением является полуинтервал $(0, 1]$.

Итоговое решение — это решение для второго случая.

Ответ: $x \in (0, 1]$.

---

г) $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$

Решим неравенство графическим методом. ОДЗ: $x \ne 0$.

Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{8})^x$ и $y_2(x) = -\frac{8}{x}$. Требуется найти $x$, для которых $y_1 > y_2$.

• Функция $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ — показательная, убывающая, всегда положительная.

• Функция $y_2 = -\frac{8}{x}$ — гипербола (ветви во II и IV четвертях).

1. Случай $x > 0$.
Здесь $y_1 = (\frac{1}{8})^x > 0$, а $y_2 = -\frac{8}{x} < 0$.
Неравенство $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$ выполняется для всех $x > 0$, так как любое положительное число больше любого отрицательного.
Решение в этом случае — интервал $(0, +\infty)$.

2. Случай $x < 0$.
Обе функции положительны. Найдем точку пересечения из уравнения $(\frac{1}{8})^x = -\frac{8}{x}$.
Подбором находим корень $x=-1$: $(\frac{1}{8})^{-1} = 8$ и $-\frac{8}{-1} = 8$.
На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ строго убывает, а $y_2 = -\frac{8}{x}$ строго возрастает, значит, точка пересечения единственная.
Нам нужно, чтобы $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$.
Проверим точку левее $x=-1$, например $x=-2$: $(\frac{1}{8})^{-2} = 64$, $-\frac{8}{-2} = 4$. Неравенство $64 > 4$ выполняется.
Проверим точку правее $x=-1$, например $x=-0.5$: $(\frac{1}{8})^{-0.5} = 8^{0.5} = \sqrt{8} \approx 2.83$, $-\frac{8}{-0.5} = 16$. Неравенство $2.83 > 16$ не выполняется.
Решение в этом случае — интервал $(-\infty, -1)$.

Объединяя решения для обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.