Номер 40.3, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.3, страница 160.

40.3 a) $10^x = \sqrt[4]{1000};$

Б) $5^x = \frac{1}{\sqrt[3]{25}};$

В) $0,3^x = \sqrt[4]{0,0081};$

Г) $(\frac{1}{5})^x = 25\sqrt{5}.$

а) Решим уравнение $10^x = \sqrt[4]{1000}$.

Цель состоит в том, чтобы привести обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к основанию 10.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 10.
Мы знаем, что $1000 = 10^3$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, преобразуем правую часть:
$\sqrt[4]{1000} = \sqrt[4]{10^3} = 10^{\frac{3}{4}}$.
Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$10^x = 10^{\frac{3}{4}}$.
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = \frac{3}{4}$.
Ответ: $x = \frac{3}{4}$.

б) Решим уравнение $5^x = \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$.

Приведем обе части уравнения к основанию 5.
Преобразуем правую часть уравнения. Сначала представим подкоренное выражение как степень числа 5: $25 = 5^2$.
Тогда $\sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2}$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, получаем:
$\sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}$.
Теперь правая часть уравнения выглядит так: $\frac{1}{5^{\frac{2}{3}}}$.
Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$\frac{1}{5^{\frac{2}{3}}} = 5^{-\frac{2}{3}}$.
Уравнение принимает вид:
$5^x = 5^{-\frac{2}{3}}$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $x = -\frac{2}{3}$.

в) Решим уравнение $0,3^x = \sqrt[4]{0,0081}$.

Приведем обе части уравнения к основанию 0,3.
Рассмотрим правую часть. Нам нужно представить число 0,0081 как степень числа 0,3.
$0,3^2 = 0,09$; $0,3^3 = 0,027$; $0,3^4 = 0,0081$.
Таким образом, $0,0081 = (0,3)^4$.
Подставим это в правую часть уравнения:
$\sqrt[4]{0,0081} = \sqrt[4]{(0,3)^4}$.
Так как $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), то:
$\sqrt[4]{(0,3)^4} = 0,3$. Или можно записать как $0,3^1$.
Теперь уравнение имеет вид:
$0,3^x = 0,3^1$.
Приравниваем показатели степеней:
$x=1$.
Ответ: $x = 1$.

г) Решим уравнение $(\frac{1}{5})^x = 25\sqrt{5}$.

Приведем обе части уравнения к одному основанию, например, к основанию 5.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^{-1} = \frac{1}{a}$:
$(\frac{1}{5})^x = (5^{-1})^x = 5^{-x}$.
Преобразуем правую часть уравнения. Представим каждое число в виде степени с основанием 5:
$25 = 5^2$.
$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
Тогда $25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$.
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{2+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{4}{2}+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}$.
Теперь уравнение выглядит так:
$5^{-x} = 5^{\frac{5}{2}}$.
Так как основания равны, приравниваем показатели:
$-x = \frac{5}{2}$.
$x = -\frac{5}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{5}{2}$.