Номер 40.9, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.9, страница 161.

40.9 a) $(\sqrt{12})^x \cdot (\sqrt{3})^x = \frac{1}{6};

б) $(\sqrt[3]{3})^{2x} \cdot (\sqrt[3]{9})^{2x} = 243.

а)

Исходное уравнение: $(\sqrt{12})^x \cdot (\sqrt{3})^x = \frac{1}{6}$

Поскольку показатели степени у обоих множителей в левой части одинаковы, мы можем использовать свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ в обратном порядке. Объединим основания под одним знаком степени:

$(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3})^x = \frac{1}{6}$

Теперь упростим выражение в скобках. Используем свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$(\sqrt{12 \cdot 3})^x = \frac{1}{6}$

$(\sqrt{36})^x = \frac{1}{6}$

Так как $\sqrt{36} = 6$, уравнение принимает вид:

$6^x = \frac{1}{6}$

Чтобы решить это показательное уравнение, представим правую часть в виде степени с основанием 6. Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{1}{6} = 6^{-1}$

Подставим это в уравнение:

$6^x = 6^{-1}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = -1$

Ответ: $x = -1$.

б)

Исходное уравнение: $(\sqrt[3]{3})^{2x} \cdot (\sqrt[3]{9})^{2x} = 243$

Аналогично пункту а), показатели степени $2x$ у множителей в левой части одинаковы. Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9})^{2x} = 243$

Упростим выражение в скобках, используя свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$(\sqrt[3]{3 \cdot 9})^{2x} = 243$

$(\sqrt[3]{27})^{2x} = 243$

Так как кубический корень из 27 равен 3 ($\sqrt[3]{27} = 3$), уравнение упрощается до:

$3^{2x} = 243$

Теперь представим число 243 в виде степени с основанием 3:

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243$

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$3^{2x} = 3^5$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2x = 5$

Находим $x$:

$x = \frac{5}{2}$ или $x = 2.5$

Ответ: $x = \frac{5}{2}$.