Номер 40.15, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.15, страница 162.

40.15 a) $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0;$

В) $4\left(\frac{1}{16}\right)^x + 15\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^x - 4 = 0;$

Б) $3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0;$

Г) $(0,25)^x + 1,5 \cdot (0,5)^x - 1 = 0.$

а) $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=a^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{4}$

$t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = \frac{1}{2}$, то $2^x = \frac{1}{2}$, откуда $2^x = 2^{-1}$, следовательно, $x = -1$.

2) Если $t = 2$, то $2^x = 2$, откуда $2^x = 2^1$, следовательно, $x = 1$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

б) $3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Найдем его корни через дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = \frac{1}{3}$, то $3^x = \frac{1}{3}$, откуда $3^x = 3^{-1}$, следовательно, $x = -1$.

2) Если $t = 3$, то $3^x = 3$, откуда $3^x = 3^1$, следовательно, $x = 1$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

в) $4 \left(\frac{1}{16}\right)^x + 15 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x - 4 = 0$

Преобразуем уравнение, заметив, что $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$. Тогда $\left(\frac{1}{16}\right)^x = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^2\right)^x = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^x\right)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{1}{4}\right)^x$, при этом $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$4t^2 + 15t - 4 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

$t_{1,2} = \frac{-15 \pm 17}{8}$

$t_1 = \frac{-15 - 17}{8} = \frac{-32}{8} = -4$

$t_2 = \frac{-15 + 17}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним.

Рассмотрим корень $t_2 = \frac{1}{4}$.

Выполним обратную замену:

$\left(\frac{1}{4}\right)^x = \frac{1}{4}$, откуда $\left(\frac{1}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^1$, следовательно, $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

г) $(0,25)^x + 1,5 \cdot (0,5)^x - 1 = 0$

Заметим, что $0,25 = (0,5)^2$. Тогда $(0,25)^x = ((0,5)^2)^x = ((0,5)^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (0,5)^x$, при этом $t > 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 + 1,5t - 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$t_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$t_1 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Корень $t_2 = 0,5$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$(0,5)^x = 0,5$, откуда $(0,5)^x = (0,5)^1$, следовательно, $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.