Номер 40.18, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.18, страница 162.

40.18 a) $3^{x-1} - \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207;$

б) $\sqrt[4]{16^{x+1}} + 188 = 8 \cdot 2^x - 0.5^{3-x}.$

а) $3^{x-1} - (\frac{1}{3})^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207$

Приведем все степени в уравнении к одному основанию 3. Для этого преобразуем каждый член уравнения, используя свойства степеней:

$(\frac{1}{3})^{3-x} = (3^{-1})^{3-x} = 3^{-1 \cdot (3-x)} = 3^{x-3}$

$\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} = \sqrt{\frac{1}{(3^2)^{4-x}}} = \sqrt{\frac{1}{3^{8-2x}}} = \sqrt{3^{-(8-2x)}} = \sqrt{3^{2x-8}} = (3^{2x-8})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{2x-8}{2}} = 3^{x-4}$

Подставим преобразованные выражения обратно в исходное уравнение:

$3^{x-1} - 3^{x-3} = 3^{x-4} + 207$

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и вынесем $3^x$:

$\frac{3^x}{3^1} - \frac{3^x}{3^3} = \frac{3^x}{3^4} + 207$

$\frac{3^x}{3} - \frac{3^x}{27} = \frac{3^x}{81} + 207$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$, при этом $y > 0$.

$\frac{y}{3} - \frac{y}{27} = \frac{y}{81} + 207$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 81:

$81 \cdot \frac{y}{3} - 81 \cdot \frac{y}{27} = 81 \cdot \frac{y}{81} + 81 \cdot 207$

$27y - 3y = y + 16767$

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения:

$24y - y = 16767$

$23y = 16767$

$y = \frac{16767}{23}$

$y = 729$

Полученное значение $y=729$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$3^x = y$

$3^x = 729$

Представим 729 как степень числа 3. Так как $729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$, получаем:

$3^x = 3^6$

Отсюда следует, что $x = 6$.

Ответ: $x = 6$.

---

б) $\sqrt[4]{16^{x+1}} + 188 = 8 \cdot 2^x - 0.5^{3-x}$

Приведем все степени в уравнении к одному основанию 2. Для этого преобразуем члены уравнения:

$\sqrt[4]{16^{x+1}} = (16^{x+1})^{\frac{1}{4}} = ((2^4)^{x+1})^{\frac{1}{4}} = (2^{4(x+1)})^{\frac{1}{4}} = 2^{x+1}$

$0.5^{3-x} = (\frac{1}{2})^{3-x} = (2^{-1})^{3-x} = 2^{-1 \cdot (3-x)} = 2^{x-3}$

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$2^{x+1} + 188 = 8 \cdot 2^x - 2^{x-3}$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^x \cdot 2^1 + 188 = 8 \cdot 2^x - \frac{2^x}{2^3}$

$2 \cdot 2^x + 188 = 8 \cdot 2^x - \frac{2^x}{8}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.

$2t + 188 = 8t - \frac{t}{8}$

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дроби:

$8 \cdot (2t) + 8 \cdot 188 = 8 \cdot (8t) - 8 \cdot \frac{t}{8}$

$16t + 1504 = 64t - t$

$16t + 1504 = 63t$

Перенесем члены с переменной $t$ в одну сторону:

$1504 = 63t - 16t$

$1504 = 47t$

$t = \frac{1504}{47}$

$t = 32$

Полученное значение $t=32$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$2^x = t$

$2^x = 32$

Так как $32 = 2^5$, получаем:

$2^x = 2^5$

Отсюда следует, что $x = 5$.

Ответ: $x = 5$.