Номер 40.17, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.17, страница 162.

40.17 а) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0;$

Б) $(\frac{1}{2})^{2x} - (\frac{1}{2})^{x-2} - 32 = 0;$

В) $5^{2x+1} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0;$

Г) $(\frac{1}{3})^{2x} + (\frac{1}{3})^{x-2} - 162 = 0.$

а)

Преобразуем исходное уравнение $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$, используя свойства степеней $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$ и $a^{2m}=(a^m)^2$. Получаем: $2^{2x} \cdot 2^1 - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$, что эквивалентно $2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$. С учетом замены уравнение принимает вид квадратного уравнения: $2t^2 - 5t - 88 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-88) = 25 + 704 = 729$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{729}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 27}{4} = 8$ и $t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{729}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 27}{4} = -5.5$.

Корень $t_2 = -5.5$ не удовлетворяет условию $t>0$, поэтому он является посторонним. Используем корень $t_1=8$.

Выполним обратную замену: $2^x = t_1 \implies 2^x = 8$. Представим 8 как степень двойки: $2^x = 2^3$. Отсюда следует, что $x=3$.

Ответ: $3$.

б)

Преобразуем исходное уравнение $(\frac{1}{2})^{2x} - (\frac{1}{2})^{x-2} - 32 = 0$. Используя свойства степеней $(a^m)^n=a^{mn}$ и $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}=a^m \cdot a^{-n}$, получим: $((\frac{1}{2})^x)^2 - (\frac{1}{2})^x \cdot (\frac{1}{2})^{-2} - 32 = 0$. Так как $(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$, уравнение примет вид: $((\frac{1}{2})^x)^2 - 4 \cdot (\frac{1}{2})^x - 32 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$. Так как $t$ - значение показательной функции, то $t>0$. Уравнение превращается в квадратное: $t^2 - 4t - 32 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно -32. Корнями являются $t_1 = 8$ и $t_2 = -4$.

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t>0$, поэтому отбрасываем его. Остается $t_1 = 8$.

Выполним обратную замену: $(\frac{1}{2})^x = 8$. Запишем обе части уравнения как степени числа 2: $(2^{-1})^x = 2^3$, что равносильно $2^{-x} = 2^3$. Приравнивая показатели степеней, получаем $-x=3$, откуда $x=-3$.

Ответ: $-3$.

в)

Рассмотрим уравнение $5^{2x+1} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$. Преобразуем его, используя свойства степеней: $5^{2x} \cdot 5^1 - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$, или $5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$.

Произведем замену переменной: пусть $t = 5^x$, где $t>0$. Уравнение становится квадратным: $5t^2 - 26t + 5 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Находим корни: $t_1 = \frac{26+24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$ и $t_2 = \frac{26-24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Оба корня, $t_1=5$ и $t_2=\frac{1}{5}$, положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $5^x = t_1 \implies 5^x = 5$. Отсюда $5^x = 5^1$, следовательно, $x_1=1$.

2) $5^x = t_2 \implies 5^x = \frac{1}{5}$. Отсюда $5^x = 5^{-1}$, следовательно, $x_2=-1$.

Ответ: $-1; 1$.

г)

Преобразуем уравнение $(\frac{1}{3})^{2x} + (\frac{1}{3})^{x-2} - 162 = 0$, используя свойства степеней: $((\frac{1}{3})^x)^2 + (\frac{1}{3})^x \cdot (\frac{1}{3})^{-2} - 162 = 0$. Учитывая, что $(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$, получаем: $((\frac{1}{3})^x)^2 + 9 \cdot (\frac{1}{3})^x - 162 = 0$.

Введем замену переменной $t = (\frac{1}{3})^x$, при этом $t>0$. Уравнение принимает вид: $t^2 + 9t - 162 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 81 + 648 = 729 = 27^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-9+27}{2} = \frac{18}{2} = 9$ и $t_2 = \frac{-9-27}{2} = \frac{-36}{2} = -18$.

Корень $t_2 = -18$ не удовлетворяет условию $t>0$. Используем корень $t_1=9$.

Выполним обратную замену: $(\frac{1}{3})^x = 9$. Представим обе части как степени числа 3: $(3^{-1})^x = 3^2$, что дает $3^{-x}=3^2$. Приравниваем показатели: $-x=2$, откуда $x=-2$.

Ответ: $-2$.