Номер 40.24, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.24, страница 163.

40.24 a) $(\frac{1}{2})^x = 0,5x + 5;$

б) $3^x = -x + 4;$

В) $(\frac{1}{7})^x = 2x + 9;$

Г) $3^{\frac{x}{2}} = -0,5x + 4.$

а) $(\frac{1}{2})^x = 0,5x + 5$

Данное уравнение является трансцендентным, и его решение в общем виде найти сложно. Решим его, анализируя свойства функций в левой и правой частях. Рассмотрим две функции: $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2(x) = 0,5x + 5$.

Функция $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ — показательная. Так как ее основание $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, функция является монотонно убывающей на всей области определения.

Функция $y_2(x) = 0,5x + 5$ — линейная. Ее угловой коэффициент $k = 0,5 > 0$, поэтому функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

Монотонно убывающая и монотонно возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора, проверяя целые значения $x$.

Проверим $x = -2$:

Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.

Правая часть: $0,5 \cdot (-2) + 5 = -1 + 5 = 4$.

Поскольку левая и правая части равны ($4 = 4$), $x = -2$ является корнем уравнения. Так как корень единственный, это и есть решение.

Ответ: -2

б) $3^x = -x + 4$

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = -x + 4$.

Функция $y_1(x) = 3^x$ — показательная с основанием $a = 3 > 1$, следовательно, она монотонно возрастает.

Функция $y_2(x) = -x + 4$ — линейная с угловым коэффициентом $k = -1 < 0$, следовательно, она монотонно убывает.

Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут пересекаться не более одного раза, поэтому уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень методом подбора.

Проверим $x = 1$:

Левая часть: $3^1 = 3$.

Правая часть: $-1 + 4 = 3$.

Левая и правая части равны ($3 = 3$), значит, $x = 1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: 1

в) $(\frac{1}{7})^x = 2x + 9$

Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{7})^x$ и $y_2(x) = 2x + 9$.

Функция $y_1(x) = (\frac{1}{7})^x$ — показательная с основанием $a = \frac{1}{7} \in (0; 1)$, поэтому она является монотонно убывающей.

Функция $y_2(x) = 2x + 9$ — линейная с угловым коэффициентом $k = 2 > 0$, поэтому она является монотонно возрастающей.

Из-за различной монотонности функций уравнение может иметь не более одного решения.

Найдем его подбором.

Проверим $x = -1$:

Левая часть: $(\frac{1}{7})^{-1} = 7^1 = 7$.

Правая часть: $2 \cdot (-1) + 9 = -2 + 9 = 7$.

Равенство $7 = 7$ выполняется, следовательно, $x = -1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: -1

г) $3^{\frac{x}{2}} = -0,5x + 4$

Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3^{\frac{x}{2}}$ и $y_2(x) = -0,5x + 4$.

Функцию $y_1(x) = 3^{\frac{x}{2}}$ можно представить как $y_1(x) = (\sqrt{3})^x$. Так как основание $a = \sqrt{3} \approx 1,732 > 1$, эта показательная функция является монотонно возрастающей.

Функция $y_2(x) = -0,5x + 4$ — линейная с угловым коэффициентом $k = -0,5 < 0$, значит, она монотонно убывает.

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень подбором. Удобно проверять четные значения $x$, чтобы показатель степени был целым.

Проверим $x = 2$:

Левая часть: $3^{\frac{2}{2}} = 3^1 = 3$.

Правая часть: $-0,5 \cdot 2 + 4 = -1 + 4 = 3$.

Так как $3 = 3$, $x = 2$ является единственным решением уравнения.

Ответ: 2