Номер 40.26, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.26, страница 163.

40.26 а) $\frac{1}{3^x + 2} = \frac{1}{3^{x+1}}$

б) $\frac{5}{12^x + 143} = \frac{5}{12^{x+2}}$

В) $\frac{1}{5^x + 4} = \frac{1}{5^{x+1}}$

Г) $\frac{8}{11^x + 120} = \frac{8}{11^{x+2}}$

а) Дано уравнение $\frac{1}{3^x + 2} = \frac{1}{3^{x+1}}$.
Поскольку дроби равны и их числители равны 1, то их знаменатели также должны быть равны. Область допустимых значений: знаменатели не должны равняться нулю. $3^x+2 > 0$ и $3^{x+1} > 0$ для любого действительного $x$.
Приравняем знаменатели:
$3^x + 2 = 3^{x+1}$
Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для преобразования правой части уравнения:
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
Подставим это выражение обратно в уравнение:
$3^x + 2 = 3 \cdot 3^x$
Перенесем слагаемые, содержащие $3^x$, в одну сторону:
$2 = 3 \cdot 3^x - 3^x$
Вынесем $3^x$ за скобки:
$2 = (3 - 1) \cdot 3^x$
$2 = 2 \cdot 3^x$
Разделим обе части на 2:
$1 = 3^x$
Так как любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1, получаем:
$x=0$
Ответ: $x=0$.

б) Дано уравнение $\frac{5}{12^x + 143} = \frac{5}{12^{x+2}}$.
Поскольку числители дробей равны 5, для равенства дробей необходимо, чтобы их знаменатели были равны. Знаменатели $12^x+143$ и $12^{x+2}$ всегда положительны.
Приравняем знаменатели:
$12^x + 143 = 12^{x+2}$
Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$12^{x+2} = 12^x \cdot 12^2 = 144 \cdot 12^x$
Подставим в уравнение:
$12^x + 143 = 144 \cdot 12^x$
Перенесем $12^x$ в правую часть:
$143 = 144 \cdot 12^x - 12^x$
Вынесем $12^x$ за скобки:
$143 = (144 - 1) \cdot 12^x$
$143 = 143 \cdot 12^x$
Разделим обе части на 143:
$1 = 12^x$
Отсюда находим $x$:
$x=0$
Ответ: $x=0$.

в) Дано уравнение $\frac{1}{5^x + 4} = \frac{1}{5^{x+1}}$.
Дроби равны, числители равны 1, следовательно, знаменатели также равны. Знаменатели $5^x+4$ и $5^{x+1}$ всегда положительны.
Приравняем знаменатели:
$5^x + 4 = 5^{x+1}$
Преобразуем правую часть по свойству степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$
Подставим в уравнение:
$5^x + 4 = 5 \cdot 5^x$
Сгруппируем члены с $5^x$:
$4 = 5 \cdot 5^x - 5^x$
$4 = (5 - 1) \cdot 5^x$
$4 = 4 \cdot 5^x$
Разделим обе части на 4:
$1 = 5^x$
Следовательно:
$x=0$
Ответ: $x=0$.

г) Дано уравнение $\frac{8}{11^x + 120} = \frac{8}{11^{x+2}}$.
Так как числители дробей равны 8, то и знаменатели должны быть равны. Знаменатели $11^x+120$ и $11^{x+2}$ всегда положительны.
Приравняем знаменатели:
$11^x + 120 = 11^{x+2}$
Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$11^{x+2} = 11^x \cdot 11^2 = 121 \cdot 11^x$
Подставим это в уравнение:
$11^x + 120 = 121 \cdot 11^x$
Перенесем слагаемые с $11^x$ в правую часть:
$120 = 121 \cdot 11^x - 11^x$
Вынесем $11^x$ за скобки:
$120 = (121 - 1) \cdot 11^x$
$120 = 120 \cdot 11^x$
Разделим обе части на 120:
$1 = 11^x$
Отсюда следует, что:
$x=0$
Ответ: $x=0$.