Номер 40.25, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.25, страница 163.

40.25 a) $18^x - 8 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^x = 0;$

б) $12^x - 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0.$

а) $18^x - 8 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Для его решения разложим основания степеней на простые множители: $18 = 2 \cdot 3^2$ и $6 = 2 \cdot 3$.
Подставим разложения в исходное уравнение:
$(2 \cdot 3^2)^x - 8 \cdot (2 \cdot 3)^x - 9 \cdot 2^x = 0$
$2^x \cdot (3^2)^x - 8 \cdot 2^x \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 0$
$2^x \cdot 3^{2x} - 8 \cdot 2^x \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x (3^{2x} - 8 \cdot 3^x - 9) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Множитель $2^x$ всегда строго больше нуля ($2^x > 0$) для любого действительного $x$, поэтому он не может быть равен нулю.
Следовательно, равен нулю второй множитель:
$3^{2x} - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Получили уравнение, которое является квадратным относительно $3^x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корнями являются $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_1 = 9$:
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x = 2$

Ответ: $2$

б) $12^x - 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0$

Преобразуем уравнение. Разложим основания степеней на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$ и $6 = 2 \cdot 3$. Также используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$(2^2 \cdot 3)^x - 6^x \cdot 6^1 + 8 \cdot 3^x = 0$
$(2^2)^x \cdot 3^x - 6 \cdot (2 \cdot 3)^x + 8 \cdot 3^x = 0$
$2^{2x} \cdot 3^x - 6 \cdot 2^x \cdot 3^x + 8 \cdot 3^x = 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x (2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8) = 0$
Так как множитель $3^x > 0$ при любом действительном $x$, он не может быть равен нулю. Значит, нулю равен второй множитель:
$2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Оба корня положительные, поэтому оба удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) $2^x = t_1 = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x_1 = 1$
2) $2^x = t_2 = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x_2 = 2$

Ответ: $1; 2$