Номер 40.29, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.29, страница 163.

40.29 a) $3^{x-1} - \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207;$

б) $\sqrt[4]{16^{x+1}} + 188 = 8 \cdot 2^x - 0,5^{3-x}.$

а) $3^{x-1} - \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести все его члены к одному основанию, в данном случае к основанию 3. Воспользуемся свойствами степеней.

Преобразуем каждый член уравнения:

1. $3^{x-1} = \frac{3^x}{3^1} = \frac{3^x}{3}$

2. $\left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = (3^{-1})^{3-x} = 3^{-1 \cdot (3-x)} = 3^{-3+x} = 3^{x-3} = \frac{3^x}{3^3} = \frac{3^x}{27}$

3. $\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} = \sqrt{\frac{1}{(3^2)^{4-x}}} = \sqrt{\frac{1}{3^{2(4-x)}}} = \sqrt{\frac{1}{3^{8-2x}}} = \sqrt{3^{-(8-2x)}} = \sqrt{3^{2x-8}} = (3^{2x-8})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{2x-8}{2}} = 3^{x-4} = \frac{3^x}{3^4} = \frac{3^x}{81}$

Теперь подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\frac{3^x}{3} - \frac{3^x}{27} = \frac{3^x}{81} + 207$

Чтобы упростить уравнение, введем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Поскольку показательная функция $3^x$ всегда положительна, то $y > 0$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{y}{3} - \frac{y}{27} = \frac{y}{81} + 207$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 81, чтобы избавиться от дробей:

$81 \cdot \left(\frac{y}{3}\right) - 81 \cdot \left(\frac{y}{27}\right) = 81 \cdot \left(\frac{y}{81}\right) + 81 \cdot 207$

$27y - 3y = y + 16767$

Перенесем все слагаемые с $y$ в левую часть:

$24y - y = 16767$

$23y = 16767$

$y = \frac{16767}{23}$

$y = 729$

Полученное значение $y = 729$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

$3^x = y$

$3^x = 729$

Представим число 729 как степень числа 3:

$729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$

Таким образом, получаем уравнение:

$3^x = 3^6$

Так как основания равны, то и показатели степени равны:

$x = 6$

Ответ: $x=6$.

б) $\sqrt[4]{16^{x+1}} + 188 = 8 \cdot 2^x - 0,5^{3-x}$

Приведем все показательные члены уравнения к основанию 2.

Преобразуем каждый член уравнения:

1. $\sqrt[4]{16^{x+1}} = (16^{x+1})^{\frac{1}{4}} = ((2^4)^{x+1})^{\frac{1}{4}} = (2^{4(x+1)})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{4(x+1)}{4}} = 2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$

2. $0,5^{3-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3-x} = (2^{-1})^{3-x} = 2^{-1 \cdot (3-x)} = 2^{-3+x} = 2^{x-3} = \frac{2^x}{2^3} = \frac{2^x}{8}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$2 \cdot 2^x + 188 = 8 \cdot 2^x - \frac{2^x}{8}$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$2t + 188 = 8t - \frac{t}{8}$

Сгруппируем слагаемые с переменной $t$ в одной части уравнения, а свободные члены - в другой.

$188 = 8t - 2t - \frac{t}{8}$

$188 = 6t - \frac{t}{8}$

Приведем слагаемые в правой части к общему знаменателю 8:

$188 = \frac{6t \cdot 8}{8} - \frac{t}{8}$

$188 = \frac{48t - t}{8}$

$188 = \frac{47t}{8}$

Теперь выразим $t$:

$t = \frac{188 \cdot 8}{47}$

Заметим, что $188 = 4 \cdot 47$. Сократим дробь:

$t = \frac{4 \cdot 47 \cdot 8}{47} = 4 \cdot 8 = 32$

Значение $t = 32$ удовлетворяет условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

$2^x = t$

$2^x = 32$

Представим 32 как степень числа 2:

$32 = 2^5$

Получаем уравнение:

$2^x = 2^5$

Отсюда $x=5$.

Ответ: $x=5$.