Номер 40.34, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.34, страница 164.

Решите систему уравнений:

40.34 a) $\begin{cases} 2^{x+y} = 16, \\ 3^y = 27^x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0.5^{3x} \cdot 0.5^y = 0.5, \\ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5^{2x-y} = 125, \\ 4^{x-y} = 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 0.6^{x+y} \cdot 0.6^x = 0.6, \\ 10^x \cdot 10^y = (0.01)^{-1}. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2^{x+y} = 16, \\ 3^y = 27^x; \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Так как $16 = 2^4$, мы можем приравнять показатели степеней с одинаковым основанием 2:

$2^{x+y} = 2^4 \implies x+y = 4$

Преобразуем второе уравнение. Так как $27 = 3^3$, мы можем записать его как:

$3^y = (3^3)^x$

$3^y = 3^{3x}$

Приравнивая показатели степеней с одинаковым основанием 3, получаем:

$y = 3x$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 4, \\ y = 3x. \end{cases} $$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x + (3x) = 4$

$4x = 4$

$x = 1$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:

$y = 3 \cdot 1 = 3$

Ответ: $(1; 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 0.5^{3x} \cdot 0.5^y = 0.5, \\ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32; \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$0.5^{3x+y} = 0.5^1$

Приравнивая показатели, получаем:

$3x+y = 1$

Преобразуем второе уравнение. Так как $32 = 2^5$, получаем:

$2^{3x-y} = 2^5$

Приравнивая показатели, получаем:

$3x-y = 5$

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 3x+y = 1, \\ 3x-y = 5. \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $y$:

$(3x+y) + (3x-y) = 1 + 5$

$6x = 6$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение ($3x+y=1$):

$3(1) + y = 1$

$3 + y = 1$

$y = 1 - 3 = -2$

Ответ: $(1; -2)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5^{2x-y} = 125, \\ 4^{x-y} = 4; \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Так как $125 = 5^3$, получаем:

$5^{2x-y} = 5^3$

$2x-y = 3$

Преобразуем второе уравнение. Так как $4 = 4^1$, получаем:

$4^{x-y} = 4^1$

$x-y = 1$

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x-y = 3, \\ x-y = 1. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $y$:

$(2x-y) - (x-y) = 3 - 1$

$2x - y - x + y = 2$

$x = 2$

Подставим значение $x$ во второе уравнение ($x-y=1$):

$2 - y = 1$

$-y = 1 - 2$

$-y = -1$

$y = 1$

Ответ: $(2; 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 0.6^{x+y} \cdot 0.6^x = 0.6, \\ 10^x \cdot 10^y = (0.01)^{-1}. \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$0.6^{(x+y)+x} = 0.6^1$

$0.6^{2x+y} = 0.6^1$

$2x+y = 1$

Преобразуем второе уравнение. В левой части используем то же свойство степеней, а в правой части выполним преобразование:

$(0.01)^{-1} = (\frac{1}{100})^{-1} = 100 = 10^2$

Тогда уравнение принимает вид:

$10^{x+y} = 10^2$

$x+y = 2$

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x+y = 1, \\ x+y = 2. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(2x+y) - (x+y) = 1 - 2$

$2x + y - x - y = -1$

$x = -1$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение ($x+y=2$):

$-1 + y = 2$

$y = 2 + 1 = 3$

Ответ: $(-1; 3)$.