Номер 40.41, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.41, страница 165.

40.41 a) $3^x \le 81$;

б) $\left(\frac{1}{3}\right)^x > \frac{1}{27}$;

B) $5^x > 125$;

Г) $(0,2)^x \le 0,04.

а)

Дано показательное неравенство $3^x \le 81$.

Чтобы решить его, необходимо привести обе части к одному основанию. В данном случае это основание 3.

Представим число 81 в виде степени числа 3:

$81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^{2+2} = 3^4$.

Теперь неравенство можно переписать в виде:

$3^x \le 3^4$.

Поскольку основание степени $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, и знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.

$x \le 4$.

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 4]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4]$.

б)

Дано показательное неравенство $(\frac{1}{3})^x > \frac{1}{27}$.

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{3}$.

Представим число $\frac{1}{27}$ в виде степени числа $\frac{1}{3}$:

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$.

Перепишем неравенство:

$(\frac{1}{3})^x > (\frac{1}{3})^3$.

Поскольку основание степени $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{3} < 1$), показательная функция $y=(\frac{1}{3})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому знак неравенства при переходе к показателям меняется на противоположный.

$x < 3$.

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

в)

Дано показательное неравенство $5^x > 125$.

Приведем обе части к основанию 5.

Представим число 125 в виде степени числа 5:

$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.

Перепишем неравенство:

$5^x > 5^3$.

Так как основание степени $a=5$ больше единицы ($5 > 1$), показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.

$x > 3$.

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

г)

Дано показательное неравенство $(0,2)^x \le 0,04$.

Приведем обе части к основанию 0,2.

Представим число 0,04 в виде степени числа 0,2:

$0,04 = (0,2)^2$.

Перепишем неравенство:

$(0,2)^x \le (0,2)^2$.

Так как основание степени $a=0,2$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,2 < 1$), показательная функция $y=(0,2)^x$ является убывающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к показателям необходимо изменить на противоположный.

$x \ge 2$.

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.