Номер 40.43, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.43, страница 165.

40.43 a) $7^{2x-9} > 7^{3x-6}$;

Б) $0,5^{4x+3} \ge 0,5^{6x-1}$;

В) $9^{x-1} \le 9^{-2x+8}$;

Г) $(\frac{7}{11})^{-3-0,5} < (\frac{7}{11})^{x+1,5}$.

а) $7^{2x-9} > 7^{3x-6}$

Дано показательное неравенство. Так как основание степени $7$ больше единицы ($7 > 1$), показательная функция $y=7^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак исходного неравенства сохраняется.

$2x - 9 > 3x - 6$

Решим полученное линейное неравенство. Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$-9 + 6 > 3x - 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$-3 > x$

Что эквивалентно записи $x < -3$.

Решением неравенства является интервал $(-\infty; -3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

б) $0,5^{4x+3} \geq 0,5^{6x-1}$

Дано показательное неравенство. Так как основание степени $0,5$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,5 < 1$), показательная функция $y=0,5^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак исходного неравенства меняется на противоположный.

$4x + 3 \leq 6x - 1$

Решим полученное линейное неравенство. Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$3 + 1 \leq 6x - 4x$

Приведем подобные слагаемые:

$4 \leq 2x$

Разделим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не меняется, так как делим на положительное число):

$2 \leq x$

Что эквивалентно записи $x \geq 2$.

Решением неравенства является числовой промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

в) $9^{x-1} \leq 9^{-2x+8}$

Дано показательное неравенство с основанием $9$. Поскольку $9 > 1$, функция $y=9^t$ является возрастающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к показателям степеней сохраняется.

$x - 1 \leq -2x + 8$

Решим полученное линейное неравенство. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$x + 2x \leq 8 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$3x \leq 9$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x \leq 3$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

г) $(\frac{7}{11})^{-3-0,5} < (\frac{7}{11})^{x+1,5}$

Сначала упростим показатель степени в левой части неравенства:

$-3-0,5 = -3,5$

Неравенство примет вид:

$(\frac{7}{11})^{-3,5} < (\frac{7}{11})^{x+1,5}$

Основание степени равно $\frac{7}{11}$. Так как $0 < \frac{7}{11} < 1$, показательная функция $y=(\frac{7}{11})^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак исходного неравенства меняется на противоположный.

$-3,5 > x + 1,5$

Решим полученное линейное неравенство. Вычтем 1,5 из обеих частей:

$-3,5 - 1,5 > x$

$-5 > x$

Что эквивалентно записи $x < -5$.

Решением неравенства является интервал $(-\infty; -5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5)$.