Номер 40.39, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.39, страница 165.

40.39 Найдите, при каких значениях параметра a уравнение не имеет корней:

a) $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$;б) $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$.

а)

Исходное уравнение: $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степеней $4^{x+2} = 4^x \cdot 4^2 = 16 \cdot 4^x$:

$48 \cdot 4^x + 27 = a + 16a \cdot 4^x$

Сгруппируем члены, содержащие $4^x$, в левой части уравнения, а свободные члены — в правой:

$48 \cdot 4^x - 16a \cdot 4^x = a - 27$

Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$(48 - 16a) \cdot 4^x = a - 27$

Введем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Поскольку показательная функция $y=4^x$ принимает только положительные значения, областью значений является $t \in (0, +\infty)$. Таким образом, $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$(48 - 16a) \cdot t = a - 27$

Это линейное уравнение относительно $t$. Исходное уравнение не имеет корней, если полученное уравнение для $t$ не имеет решений в области $t > 0$.

Рассмотрим два случая.

1. Коэффициент при $t$ равен нулю: $48 - 16a = 0$.

Отсюда $16a = 48$, то есть $a = 3$.

Подставим значение $a = 3$ в уравнение: $0 \cdot t = 3 - 27$, что равносильно $0 \cdot t = -24$. Это уравнение не имеет решений для $t$, а значит и исходное уравнение не имеет корней при $a=3$.

2. Коэффициент при $t$ не равен нулю: $48 - 16a \ne 0$, то есть $a \ne 3$.

В этом случае можно выразить $t$:

$t = \frac{a - 27}{48 - 16a}$

Уравнение не будет иметь корней, если значение $t$ не будет положительным, то есть $t \le 0$. Составим и решим неравенство:

$\frac{a - 27}{48 - 16a} \le 0$

$\frac{a - 27}{16(3 - a)} \le 0$

Так как $16 > 0$, знак дроби совпадает со знаком выражения $\frac{a-27}{3-a}$.

$\frac{a - 27}{3 - a} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $a=27$ и $a=3$. Они разбивают числовую ось на интервалы.

- При $a \in (-\infty, 3)$, дробь имеет вид $\frac{(-)}{(+)} < 0$. Неравенство выполняется.

- При $a \in (3, 27)$, дробь имеет вид $\frac{(-)}{(-)} > 0$. Неравенство не выполняется.

- При $a \in (27, +\infty)$, дробь имеет вид $\frac{(+)}{(-)} < 0$. Неравенство выполняется.

Проверим граничные точки. При $a = 27$ числитель равен нулю, дробь равна нулю, неравенство $0 \le 0$ верно. В этом случае $t=0$, но $4^x=0$ не имеет решений, поэтому $a=27$ подходит. Точка $a=3$ не входит в решение, так как знаменатель обращается в ноль, но этот случай уже был рассмотрен отдельно.

Решение неравенства: $a \in (-\infty, 3) \cup [27, +\infty)$.

Объединяя результаты обоих случаев ($a=3$ и $a \in (-\infty, 3) \cup [27, +\infty)$), получаем итоговый промежуток.

Ответ: $a \in (-\infty, 3] \cup [27, +\infty)$.

б)

Исходное уравнение: $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$.

Представим $9^x$ как $(3^x)^2$ и $3^{x+1}$ как $3 \cdot 3^x$:

$(3^x)^2 + 2a \cdot (3 \cdot 3^x) + 9 = 0$

$(3^x)^2 + 6a \cdot 3^x + 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$. Уравнение сводится к квадратному относительно $t$:

$t^2 + 6at + 9 = 0$

Исходное уравнение не имеет корней, если это квадратное уравнение не имеет положительных корней ($t > 0$). Это возможно в двух основных ситуациях:

1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Это условие выполняется, если дискриминант $D < 0$.

$D = (6a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36a^2 - 36 = 36(a^2 - 1)$

Решим неравенство $D < 0$:

$36(a^2 - 1) < 0 \implies a^2 - 1 < 0 \implies a^2 < 1$

Это неравенство выполняется при $-1 < a < 1$.

2. Квадратное уравнение имеет действительные корни ($D \ge 0$), но они все не являются положительными (то есть $t \le 0$).

Условие $D \ge 0$ выполняется при $a^2 - 1 \ge 0$, то есть $a \le -1$ или $a \ge 1$.

Для анализа знаков корней воспользуемся теоремой Виета. Для корней $t_1$ и $t_2$ имеем:

$t_1 + t_2 = -6a$

$t_1 \cdot t_2 = 9$

Поскольку произведение корней $t_1 t_2 = 9$ положительно, то действительные корни (если они есть) будут одного знака. Так как $t^2+6at+9=0$ при $t=0$ дает $9=0$ (неверно), то корни не могут быть равны нулю. Значит, они либо оба положительные, либо оба отрицательные.

Чтобы оба корня были отрицательными, их сумма должна быть отрицательной:

$t_1 + t_2 < 0 \implies -6a < 0 \implies a > 0$.

Итак, для этого случая необходимо, чтобы одновременно выполнялись условия $D \ge 0$ (то есть $a \le -1$ или $a \ge 1$) и $a > 0$. Пересечение этих множеств дает $a \ge 1$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:

- Уравнение не имеет действительных корней при $a \in (-1, 1)$.

- Уравнение имеет только отрицательные корни при $a \in [1, +\infty)$.

Объединяя эти множества, $a \in (-1, 1) \cup [1, +\infty)$, получаем, что исходное уравнение не имеет корней при $a > -1$.

Ответ: $a \in (-1, +\infty)$.