Номер 40.35, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.35, страница 164.

40.35 a) $\left\{ \begin{array}{l} (\sqrt{3})^{x+2y} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{27}, \\ 0,1^x \cdot 10^{3y} = 10; \end{array} \right.$

б) $\left\{ \begin{array}{l} 27^y \cdot 3^x = 1, \\ \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 4^y = 2; \end{array} \right.$

в) $\left\{ \begin{array}{l} (\sqrt{5})^{2x+y} = \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5}, \\ \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 5^y = 125; \end{array} \right.$

г) $\left\{ \begin{array}{l} 5^y \cdot 25^x = 625, \\ \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot 9^y = \frac{1}{27}. \end{array} \right.$

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} (\sqrt{3})^{x+2y} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \\ 0,1^x \cdot 10^{3y} = 10 \end{cases}$

Упростим первое уравнение. Правая часть равна $\sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9$. Так как $\sqrt{3} = 3^{1/2}$ и $9 = 3^2$, уравнение принимает вид:

$(3^{1/2})^{x+2y} = 3^2$

$3^{\frac{x+2y}{2}} = 3^2$

Приравнивая показатели степени, получаем: $\frac{x+2y}{2} = 2$, или $x+2y = 4$.

Упростим второе уравнение. Так как $0,1 = 10^{-1}$, уравнение принимает вид:

$(10^{-1})^x \cdot 10^{3y} = 10^1$

$10^{-x+3y} = 10^1$

Приравнивая показатели степени, получаем: $-x+3y = 1$.

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} x+2y = 4 \\ -x+3y = 1 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $5y = 5$, откуда $y = 1$. Подставив $y=1$ в первое уравнение, найдем $x$: $x + 2(1) = 4$, откуда $x = 2$.

Ответ: $(2; 1)$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 27^y \cdot 3^x = 1 \\ (\frac{1}{2})^x \cdot 4^y = 2 \end{cases}$

Преобразуем оба уравнения, приведя их к одному основанию. Для первого уравнения используем основание 3: $27 = 3^3$ и $1 = 3^0$.

$(3^3)^y \cdot 3^x = 3^0$

$3^{3y+x} = 3^0$

Отсюда получаем первое линейное уравнение: $x+3y=0$.

Для второго уравнения используем основание 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$.

$(2^{-1})^x \cdot (2^2)^y = 2^1$

$2^{-x+2y} = 2^1$

Отсюда получаем второе линейное уравнение: $-x+2y=1$.

Получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x+3y = 0 \\ -x+2y = 1 \end{cases}$

Сложив уравнения, получим: $5y = 1$, откуда $y = \frac{1}{5}$. Подставим это значение в первое уравнение: $x + 3(\frac{1}{5}) = 0$, откуда $x = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $(-\frac{3}{5}; \frac{1}{5})$.

в) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} (\sqrt{5})^{2x+y} = \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5} \\ (\frac{1}{5})^x \cdot 5^y = 125 \end{cases}$

Упростим первое уравнение. Правая часть: $\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot 5} = \sqrt{1} = 1$. Так как $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ и $1=5^0$, уравнение принимает вид:

$(5^{1/2})^{2x+y} = 5^0$

$5^{\frac{2x+y}{2}} = 5^0$

Отсюда следует, что $\frac{2x+y}{2} = 0$, или $2x+y=0$.

Упростим второе уравнение. Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $125=5^3$, уравнение принимает вид:

$(5^{-1})^x \cdot 5^y = 5^3$

$5^{-x+y} = 5^3$

Отсюда следует, что $-x+y=3$.

Получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2x+y = 0 \\ -x+y = 3 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого: $(2x+y) - (-x+y) = 0 - 3$, что дает $3x = -3$, откуда $x = -1$. Подставим $x=-1$ в первое уравнение: $2(-1)+y=0$, откуда $y=2$.

Ответ: $(-1; 2)$.

г) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 5^y \cdot 25^x = 625 \\ (\frac{1}{3})^x \cdot 9^y = \frac{1}{27} \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение к основанию 5. Так как $25 = 5^2$ и $625 = 5^4$, получаем:

$5^y \cdot (5^2)^x = 5^4$

$5^{y+2x} = 5^4$

Отсюда получаем первое линейное уравнение: $2x+y=4$.

Преобразуем второе уравнение к основанию 3. Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, $9 = 3^2$ и $\frac{1}{27} = 3^{-3}$, получаем:

$(3^{-1})^x \cdot (3^2)^y = 3^{-3}$

$3^{-x+2y} = 3^{-3}$

Отсюда получаем второе линейное уравнение: $-x+2y=-3$.

Получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2x+y = 4 \\ -x+2y = -3 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 4-2x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$-x + 2(4-2x) = -3$

$-x + 8 - 4x = -3$

$-5x = -11 \implies x = \frac{11}{5}$

Теперь найдем $y$: $y = 4 - 2(\frac{11}{5}) = \frac{20}{5} - \frac{22}{5} = -\frac{2}{5}$.

Ответ: $(\frac{11}{5}; -\frac{2}{5})$.