Номер 40.33, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.33, страница 164.

40.33 a) $5^{2x^2 - 1} - 3 \cdot 5^{(x+1)(x+2)} = 2 \cdot 5^{6(x+1)};$

б) $3^{2x^2 - 1} - 3^{(x-1)(x+5)} = 2 \cdot 3^{8(x-1)}.$

a) $5^{2x^2 - 1} - 3 \cdot 5^{(x+1)(x+2)} = 2 \cdot 5^{6(x+1)}$

Сначала преобразуем показатели степеней в уравнении:

$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

$6(x+1) = 6x + 6$

Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$5^{2x^2 - 1} - 3 \cdot 5^{x^2 + 3x + 2} = 2 \cdot 5^{6x + 6}$

Разделим обе части уравнения на $5^{6x + 6}$, так как это выражение всегда положительно:

$\frac{5^{2x^2 - 1}}{5^{6x + 6}} - 3 \cdot \frac{5^{x^2 + 3x + 2}}{5^{6x + 6}} = 2$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:

$5^{(2x^2 - 1) - (6x + 6)} - 3 \cdot 5^{(x^2 + 3x + 2) - (6x + 6)} = 2$

$5^{2x^2 - 6x - 7} - 3 \cdot 5^{x^2 - 3x - 4} = 2$

Заметим, что показатель первой степени связан с показателем второй: $2x^2 - 6x - 7 = 2(x^2 - 3x - 4) + 8 - 7 = 2(x^2 - 3x - 4) + 1$.

Тогда $5^{2x^2 - 6x - 7} = 5^{2(x^2 - 3x - 4) + 1} = 5^1 \cdot (5^{x^2 - 3x - 4})^2 = 5 \cdot (5^{x^2 - 3x - 4})^2$.

Введем замену: пусть $y = 5^{x^2 - 3x - 4}$. Уравнение примет вид:

$5y^2 - 3y = 2$

$5y^2 - 3y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -0.4$

Так как $y = 5^{x^2 - 3x - 4}$ и показательная функция всегда положительна, корень $y_2 = -0.4$ является посторонним.

Вернемся к замене с $y_1 = 1$:

$5^{x^2 - 3x - 4} = 1$

Так как $a^0 = 1$, то $5^{x^2 - 3x - 4} = 5^0$.

Приравняем показатели степеней:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета: сумма корней равна $3$, произведение равно $-4$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $x = -1, x = 4$.

б) $3^{2x^2 - 1} - 3^{(x-1)(x+5)} = 2 \cdot 3^{8(x-1)}$

Упростим показатели степеней:

$(x-1)(x+5) = x^2 + 5x - x - 5 = x^2 + 4x - 5$

$8(x-1) = 8x - 8$

Подставим в уравнение:

$3^{2x^2 - 1} - 3^{x^2 + 4x - 5} = 2 \cdot 3^{8x - 8}$

Разделим обе части уравнения на $3^{8x - 8}$ (выражение всегда больше нуля):

$\frac{3^{2x^2 - 1}}{3^{8x - 8}} - \frac{3^{x^2 + 4x - 5}}{3^{8x - 8}} = 2$

$3^{(2x^2 - 1) - (8x - 8)} - 3^{(x^2 + 4x - 5) - (8x - 8)} = 2$

$3^{2x^2 - 8x + 7} - 3^{x^2 - 4x + 3} = 2$

Заметим, что показатель $2x^2 - 8x + 7 = 2(x^2 - 4x + 3) + 6 - 6 + 7 = 2(x^2 - 4x + 3) + 1$.

Следовательно, $3^{2x^2 - 8x + 7} = 3^{2(x^2 - 4x + 3) + 1} = 3^1 \cdot (3^{x^2 - 4x + 3})^2 = 3 \cdot (3^{x^2 - 4x + 3})^2$.

Произведем замену: пусть $y = 3^{x^2 - 4x + 3}$. Уравнение примет вид:

$3y^2 - y = 2$

$3y^2 - y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Поскольку $y = 3^{x^2 - 4x + 3} > 0$, корень $y_2 = -2/3$ является посторонним.

Возвращаемся к замене с $y_1 = 1$:

$3^{x^2 - 4x + 3} = 1$

$3^{x^2 - 4x + 3} = 3^0$

Приравниваем показатели:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а произведение равно $3$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Ответ: $x = 1, x = 3$.