Номер 40.27, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.27, страница 163.

40.27 а) $3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0;$

б) $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0;$

в) $3^{2x+1} - 4 \cdot 21^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0;$

г) $5 \cdot 3^{2x} + 7 \cdot 15^x - 6 \cdot 25^x = 0.$

а) $3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$

Перепишем уравнение, используя свойства степеней: $2^{2x} = (2^x)^2$, $3^{2x} = (3^x)^2$ и $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$.

$3 \cdot (2^x)^2 + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot (3^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $3^{2x}$. Так как $3^{2x} > 0$ для любого действительного $x$, это преобразование является равносильным.

$3 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} + \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} - 2 \frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} = 0$

$3 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} + (\frac{2}{3})^x - 2 = 0$

Введем замену переменной: пусть $t = (\frac{2}{3})^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$3t^2 + t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

$t_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене с $t_2 = \frac{2}{3}$:

$(\frac{2}{3})^x = \frac{2}{3}$

$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^1$

$x = 1$

Ответ: $1$.

б) $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $2^{2x} = (2^x)^2$, $5^{2x} = (5^x)^2$ и $10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$.

$2 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 5 \cdot (5^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $5^{2x}$, которое всегда больше нуля.

$2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(5^x)^2} - 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 5 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0$

$2 \cdot (\frac{2}{5})^{2x} - 3 \cdot (\frac{2}{5})^x - 5 = 0$

Введем замену переменной: пусть $t = (\frac{2}{5})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$2t^2 - 3t - 5 = 0$

Найдем корни:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

$t_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к замене с $t_2 = \frac{5}{2}$:

$(\frac{2}{5})^x = \frac{5}{2}$

$(\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{5})^{-1}$

$x = -1$

Ответ: $-1$.

в) $3^{2x+1} - 4 \cdot 21^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0$

Преобразуем уравнение: $3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x} = 3 \cdot (3^x)^2$, $21^x = (3 \cdot 7)^x = 3^x \cdot 7^x$ и $7^{2x} = (7^x)^2$.

$3 \cdot (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x \cdot 7^x - 7 \cdot (7^x)^2 = 0$

Разделим обе части этого однородного уравнения на $7^{2x} > 0$.

$3 \cdot \frac{(3^x)^2}{(7^x)^2} - 4 \cdot \frac{3^x \cdot 7^x}{(7^x)^2} - 7 \cdot \frac{(7^x)^2}{(7^x)^2} = 0$

$3 \cdot (\frac{3}{7})^{2x} - 4 \cdot (\frac{3}{7})^x - 7 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{3}{7})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$3t^2 - 4t - 7 = 0$

Найдем корни:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2$

$t_1 = \frac{4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$t_2 = \frac{4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

Корень $t_1 = -1$ не подходит по условию $t > 0$.

Вернемся к замене с $t_2 = \frac{7}{3}$:

$(\frac{3}{7})^x = \frac{7}{3}$

$(\frac{3}{7})^x = (\frac{3}{7})^{-1}$

$x = -1$

Ответ: $-1$.

г) $5 \cdot 3^{2x} + 7 \cdot 15^x - 6 \cdot 25^x = 0$

Преобразуем уравнение: $3^{2x} = (3^x)^2$, $15^x = (3 \cdot 5)^x = 3^x \cdot 5^x$ и $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$.

$5 \cdot (3^x)^2 + 7 \cdot 3^x \cdot 5^x - 6 \cdot (5^x)^2 = 0$

Разделим обе части этого однородного уравнения на $5^{2x} > 0$.

$5 \cdot \frac{(3^x)^2}{(5^x)^2} + 7 \cdot \frac{3^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 6 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0$

$5 \cdot (\frac{3}{5})^{2x} + 7 \cdot (\frac{3}{5})^x - 6 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{3}{5})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$5t^2 + 7t - 6 = 0$

Найдем корни:

$D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

$t_1 = \frac{-7 - 13}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

$t_2 = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к замене с $t_2 = \frac{3}{5}$:

$(\frac{3}{5})^x = \frac{3}{5}$

$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^1$

$x = 1$

Ответ: $1$.