Номер 40.21, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.21, страница 162.

40.21 a) $6^{2x + 4} = 2^{8 + x} \cdot 3^{3x}$

б) $35^{4x + 2} = 5^{3x + 4} \cdot 7^{5x}$

а)

Дано показательное уравнение:

$6^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$

Чтобы решить это уравнение, представим основание 6 в виде произведения его простых множителей, то есть $6 = 2 \cdot 3$.

$(2 \cdot 3)^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$

Используя свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, раскроем скобки в левой части уравнения:

$2^{2x+4} \cdot 3^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$

Теперь разделим обе части уравнения так, чтобы сгруппировать степени с одинаковыми основаниями. Разделим левую и правую части на $2^{8+x}$ и $3^{2x+4}$ (при условии, что они не равны нулю, что всегда верно для показательных функций):

$\frac{2^{2x+4}}{2^{8+x}} = \frac{3^{3x}}{3^{2x+4}}$

Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{(2x+4) - (8+x)} = 3^{3x - (2x+4)}$

$2^{2x+4-8-x} = 3^{3x-2x-4}$

$2^{x-4} = 3^{x-4}$

Разделим обе части уравнения на $3^{x-4}$:

$\frac{2^{x-4}}{3^{x-4}} = 1$

Используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получим:

$(\frac{2}{3})^{x-4} = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Следовательно, показатель степени должен быть равен нулю:

$x-4 = 0$

$x = 4$

Ответ: $x=4$

б)

Дано показательное уравнение:

$35^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$

Аналогично предыдущему пункту, представим основание 35 в виде произведения простых множителей: $35 = 5 \cdot 7$.

$(5 \cdot 7)^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя свойство степени произведения:

$5^{4x+2} \cdot 7^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, разделив обе части уравнения на $5^{3x+4}$ и $7^{4x+2}$:

$\frac{5^{4x+2}}{5^{3x+4}} = \frac{7^{5x}}{7^{4x+2}}$

Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием:

$5^{(4x+2) - (3x+4)} = 7^{5x - (4x+2)}$

$5^{4x+2-3x-4} = 7^{5x-4x-2}$

$5^{x-2} = 7^{x-2}$

Разделим обе части на $7^{x-2}$:

$\frac{5^{x-2}}{7^{x-2}} = 1$

$(\frac{5}{7})^{x-2} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, приравниваем показатель степени к нулю:

$x-2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $x=2$