Номер 40.14, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.14, страница 162.

40.14 a) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0;$

Б) $3^{2x} - 6 \cdot 3^x - 27 = 0;$

В) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x - 6 = 0;$

Г) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x - 6 = 0.$

а) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Данное уравнение является показательным, и его можно свести к квадратному уравнению. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$.

Выполним замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
По теореме Виета:
Сумма корней: $t_1 + t_2 = 6$
Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 8$
Подбором находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену:

1) Если $t_1 = 2$, то $2^x = 2$. Отсюда $2^x = 2^1$, следовательно, $x = 1$.

2) Если $t_2 = 4$, то $2^x = 4$. Отсюда $2^x = 2^2$, следовательно, $x = 2$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; 2$.

б) $3^{2x} - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степени $a^{mn} = (a^m)^n$: $(3^x)^2 - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$.

Введем замену переменной: $t = 3^x$. Учитывая, что $3^x > 0$ для любого $x$, получаем ограничение $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 6t - 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$.

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$. Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $t_2 = 9$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t_2 = 9$:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.

в) $(\frac{1}{6})^{2x} - 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Заметим, что $(\frac{1}{6})^{2x} = ((\frac{1}{6})^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{6})^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.

После замены уравнение примет вид:

$t^2 - 5t - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому отбрасываем его. Корень $t_2 = 6$ подходит.

Выполним обратную замену:

$(\frac{1}{6})^x = 6$

Представим $\frac{1}{6}$ как $6^{-1}$:

$(6^{-1})^x = 6^1$

$6^{-x} = 6^1$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = 1$

$x = -1$

Ответ: $-1$.

г) $(\frac{1}{6})^{2x} + 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Это уравнение также сводится к квадратному. Пусть $t = (\frac{1}{6})^x$, при этом $t > 0$.

Подставляем $t$ в уравнение:

$t^2 + 5t - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней: $t_1 + t_2 = -5$
Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = -6$
Корни: $t_1 = -6$ и $t_2 = 1$.

Проверим корни по условию $t > 0$. Корень $t_1 = -6$ не является решением, так как он отрицательный. Корень $t_2 = 1$ удовлетворяет условию.

Сделаем обратную замену для $t_2 = 1$:

$(\frac{1}{6})^x = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, мы можем записать:

$(\frac{1}{6})^x = (\frac{1}{6})^0$

Отсюда следует, что $x = 0$.

Ответ: $0$.