Номер 40.8, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.8, страница 161.

40.8 a) $2^x \\left(\\frac{3}{2}\\right)^x = \\frac{1}{9}$;

Б) $\\left(\\frac{1}{5}\\right)^x \\cdot 3^x = \\sqrt{\\frac{27}{125}};

В) $5^x \\cdot 2^x = 0,1^{-3}$;

Г) $0,3^x \\cdot 3^x = \\sqrt[3]{0,81}$.

а) $2^x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{1}{9}$

Для решения этого показательного уравнения преобразуем обе его части так, чтобы основания степеней были одинаковыми.

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$ и $\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}$:

$2^x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = 2^x \cdot \frac{3^x}{2^x} = 3^x$.

Преобразуем правую часть уравнения. Представим $\frac{1}{9}$ в виде степени с основанием 3:

$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.

Теперь уравнение принимает вид:

$3^x = 3^{-2}$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = -2$.

Ответ: $-2$.

б) $\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 3^x = \sqrt{\frac{27}{125}}$

Преобразуем левую часть, используя свойство $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$:

$\left(\frac{1}{5} \cdot 3\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^x$.

Преобразуем правую часть. Представим числа под корнем в виде степеней и воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt{\frac{27}{125}} = \sqrt{\frac{3^3}{5^3}} = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^3} = \left(\left(\frac{3}{5}\right)^3\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{3}{2}}$.

Получаем уравнение:

$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{3}{2}}$.

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

в) $5^x \cdot 2^x = 0,1^{-3}$

Упростим левую часть по свойству степеней $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$:

$(5 \cdot 2)^x = 10^x$.

Упростим правую часть. Представим десятичную дробь $0,1$ в виде степени числа 10:

$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.

Тогда правая часть равна:

$(0,1)^{-3} = (10^{-1})^{-3} = 10^{(-1) \cdot (-3)} = 10^3$.

Уравнение приобретает вид:

$10^x = 10^3$.

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$x = 3$.

Ответ: $3$.

г) $0,3^x \cdot 3^x = \sqrt[3]{0,81}$

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$:

$(0,3 \cdot 3)^x = (0,9)^x$.

Преобразуем правую часть. Представим $0,81$ как степень числа $0,9$ и воспользуемся свойством корня:

$0,81 = 0,9^2$.

$\sqrt[3]{0,81} = \sqrt[3]{0,9^2} = (0,9^2)^{\frac{1}{3}} = 0,9^{2 \cdot \frac{1}{3}} = 0,9^{\frac{2}{3}}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$(0,9)^x = 0,9^{\frac{2}{3}}$.

Поскольку основания степеней одинаковы, их показатели также должны быть равны:

$x = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.