Номер 40.11, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.11, страница 161.

40.11 a) $\sqrt{625} \cdot \sqrt{5^{14x - 9}} = \sqrt[6]{125 \cdot 5^{6x - 12}}$;

б) $\sqrt[3]{0,2} \cdot \sqrt{0,2^{2x - \frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{0,04^{-3x + 6}}$.

a) $\sqrt{625} \cdot \sqrt{5^{14x-9}} = \sqrt[6]{125 \cdot 5^{6x-12}}$
Для решения данного уравнения представим все числа в виде степеней с одним основанием. В данном случае это основание 5.
Заметим, что $625 = 5^4$ и $125 = 5^3$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойства корней и степеней ($\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$\sqrt{625} \cdot \sqrt{5^{14x-9}} = \sqrt{5^4} \cdot (5^{14x-9})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{4}{2}} \cdot 5^{\frac{14x-9}{2}} = 5^2 \cdot 5^{\frac{14x-9}{2}} = 5^{2 + \frac{14x-9}{2}} = 5^{\frac{4+14x-9}{2}} = 5^{\frac{14x-5}{2}}$.
Теперь преобразуем правую часть уравнения:
$\sqrt[6]{125 \cdot 5^{6x-12}} = \sqrt[6]{5^3 \cdot 5^{6x-12}} = \sqrt[6]{5^{3+6x-12}} = \sqrt[6]{5^{6x-9}} = (5^{6x-9})^{\frac{1}{6}} = 5^{\frac{6x-9}{6}} = 5^{\frac{3(2x-3)}{3 \cdot 2}} = 5^{\frac{2x-3}{2}}$.
Теперь, когда обе части уравнения представлены в виде степеней с одинаковым основанием, мы можем приравнять их:
$5^{\frac{14x-5}{2}} = 5^{\frac{2x-3}{2}}$.
Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$\frac{14x-5}{2} = \frac{2x-3}{2}$.
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей:
$14x - 5 = 2x - 3$.
Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$14x - 2x = 5 - 3$.
$12x = 2$.
$x = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $x = \frac{1}{6}$.

б) $\sqrt[3]{0,2} \cdot \sqrt{0,2^{2x-\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{0,04^{-3x+6}}$
Для решения данного уравнения приведем все выражения к одному основанию. Заметим, что $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2 = (0,2)^2$. Таким образом, будем использовать основание 0,2.
Преобразуем левую часть уравнения:
$\sqrt[3]{0,2} \cdot \sqrt{0,2^{2x-\frac{1}{3}}} = (0,2)^{\frac{1}{3}} \cdot (0,2^{2x-\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (0,2)^{\frac{1}{3}} \cdot (0,2)^{\frac{2x-1/3}{2}} = (0,2)^{\frac{1}{3}} \cdot (0,2)^{x-\frac{1}{6}}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$(0,2)^{\frac{1}{3} + x - \frac{1}{6}} = (0,2)^{x + \frac{2}{6} - \frac{1}{6}} = (0,2)^{x + \frac{1}{6}}$.
Теперь преобразуем правую часть уравнения:
$\sqrt[3]{0,04^{-3x+6}} = \sqrt[3]{((0,2)^2)^{-3x+6}} = \sqrt[3]{(0,2)^{2(-3x+6)}} = \sqrt[3]{(0,2)^{-6x+12}}$.
Представим корень в виде степени:
$((0,2)^{-6x+12})^{\frac{1}{3}} = (0,2)^{\frac{-6x+12}{3}} = (0,2)^{-2x+4}$.
Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:
$(0,2)^{x + \frac{1}{6}} = (0,2)^{-2x+4}$.
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$x + \frac{1}{6} = -2x + 4$.
Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$x + 2x = 4 - \frac{1}{6}$.
$3x = \frac{24}{6} - \frac{1}{6}$.
$3x = \frac{23}{6}$.
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{23}{6 \cdot 3} = \frac{23}{18}$.
Ответ: $x = \frac{23}{18}$.