Номер 40.10, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.10, страница 161.

40.10 a) $\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3} = 0,81^{-2x}$;

б) $\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}\right)^{x^2+4} = 20,25^{x+1}$.

а) $(\frac{\sqrt{10}}{3})^{3x^2-3} = 0,81^{-2x}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В левой части основание равно $\frac{\sqrt{10}}{3}$.

Преобразуем правую часть уравнения. Представим десятичную дробь $0,81$ в виде обыкновенной:

$0,81 = \frac{81}{100} = (\frac{9}{10})^2$.

Теперь найдем связь между основаниями $\frac{\sqrt{10}}{3}$ и $\frac{9}{10}$. Возведем основание левой части в квадрат:

$(\frac{\sqrt{10}}{3})^2 = \frac{10}{9}$.

Заметим, что $\frac{9}{10}$ является обратной дробью к $\frac{10}{9}$, то есть $\frac{9}{10} = (\frac{10}{9})^{-1}$.

Таким образом, мы можем выразить $\frac{9}{10}$ через основание левой части:

$\frac{9}{10} = ((\frac{\sqrt{10}}{3})^2)^{-1} = (\frac{\sqrt{10}}{3})^{-2}$.

Теперь подставим это выражение в правую часть исходного уравнения:

$0,81^{-2x} = ((\frac{9}{10})^2)^{-2x} = (\frac{9}{10})^{-4x} = ((\frac{\sqrt{10}}{3})^{-2})^{-4x} = (\frac{\sqrt{10}}{3})^{(-2) \cdot (-4x)} = (\frac{\sqrt{10}}{3})^{8x}$.

Исходное уравнение принимает вид:

$(\frac{\sqrt{10}}{3})^{3x^2-3} = (\frac{\sqrt{10}}{3})^{8x}$.

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x^2 - 3 = 8x$.

Получили квадратное уравнение. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3x^2 - 8x - 3 = 0$.

Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

Корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

$x_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $x_1=3, x_2=-\frac{1}{3}$.

б) $(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}})^{x^2+4} = 20,25^{x+1}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию.

Сначала преобразуем основание в левой части, используя свойства корней и степеней:

$\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2^{1/4}}{3^{1/2}} = \frac{2^{1/4}}{(3^2)^{1/4}} = \frac{2^{1/4}}{9^{1/4}} = (\frac{2}{9})^{1/4}$.

Теперь преобразуем правую часть. Переведем десятичную дробь в обыкновенную:

$20,25 = \frac{2025}{100} = \frac{81 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{81}{4}$.

Заметим, что основание $\frac{81}{4}$ связано с основанием $\frac{2}{9}$:

$\frac{81}{4} = (\frac{9}{2})^2 = ((\frac{2}{9})^{-1})^2 = (\frac{2}{9})^{-2}$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$((\frac{2}{9})^{1/4})^{x^2+4} = ((\frac{2}{9})^{-2})^{x+1}$.

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ упростим обе части:

$(\frac{2}{9})^{\frac{x^2+4}{4}} = (\frac{2}{9})^{-2(x+1)}$.

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\frac{x^2+4}{4} = -2(x+1)$.

$\frac{x^2+4}{4} = -2x-2$.

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^2 + 4 = 4(-2x-2)$.

$x^2 + 4 = -8x - 8$.

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 8x + 12 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 12$. Подбором находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -6$.

Или решим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Ответ: $x_1=-2, x_2=-6$.