Номер 40.16, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.16, страница 162.

40.16 a) $4 \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^x - 17 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x + 4 = 0;$

б) $0,01^x + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0;$

в) $3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 6 = 0;$

г) $5 \cdot \left(\frac{4}{25}\right)^x + 23 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 10 = 0.$

а) Решим уравнение $4 \cdot (\frac{1}{16})^x - 17 \cdot (\frac{1}{4})^x + 4 = 0$.
Заметим, что $\frac{1}{16} = (\frac{1}{4})^2$. Тогда уравнение можно переписать в виде:
$4 \cdot ((\frac{1}{4})^2)^x - 17 \cdot (\frac{1}{4})^x + 4 = 0$
$4 \cdot ((\frac{1}{4})^x)^2 - 17 \cdot (\frac{1}{4})^x + 4 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{4})^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$4t^2 - 17t + 4 = 0$
Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 15}{8}$
$t_1 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену:
1) Для $t_1 = \frac{1}{4}$: $(\frac{1}{4})^x = \frac{1}{4}$, откуда $x_1 = 1$.
2) Для $t_2 = 4$: $(\frac{1}{4})^x = 4$. Перепишем как $(4^{-1})^x = 4^1$, или $4^{-x} = 4^1$. Отсюда $-x = 1$, то есть $x_2 = -1$.
Ответ: $\{-1; 1\}$.

б) Решим уравнение $0,01^x + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0$.
Заметим, что $0,01 = (0,1)^2$. Тогда уравнение можно переписать в виде:
$(0,1^x)^2 + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (0,1)^x$. Учитывая, что $t$ - значение показательной функции, $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $t^2 + 9,9t - 1 = 0$.
Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от дробей: $10t^2 + 99t - 10 = 0$.
Найдем корни:
$D = 99^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 9801 + 400 = 10201 = 101^2$
$t_{1,2} = \frac{-99 \pm 101}{2 \cdot 10} = \frac{-99 \pm 101}{20}$
$t_1 = \frac{-99 - 101}{20} = \frac{-200}{20} = -10$
$t_2 = \frac{-99 + 101}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1$
Корень $t_1 = -10$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену для $t_2 = 0,1$:
$(0,1)^x = 0,1$
$(0,1)^x = (0,1)^1$
$x = 1$
Ответ: $\{1\}$.

в) Решим уравнение $3 \cdot (\frac{4}{9})^x + 7 \cdot (\frac{2}{3})^x - 6 = 0$.
Заметим, что $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$. Уравнение принимает вид:
$3 \cdot ((\frac{2}{3})^x)^2 + 7 \cdot (\frac{2}{3})^x - 6 = 0$
Пусть $t = (\frac{2}{3})^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $3t^2 + 7t - 6 = 0$.
Найдем его корни:
$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$
$t_{1,2} = \frac{-7 \pm 11}{2 \cdot 3} = \frac{-7 \pm 11}{6}$
$t_1 = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3$
$t_2 = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Корень $t_1 = -3$ не подходит, так как $t>0$.
Выполним обратную замену для $t_2 = \frac{2}{3}$:
$(\frac{2}{3})^x = \frac{2}{3}$
$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^1$
$x = 1$
Ответ: $\{1\}$.

г) Решим уравнение $5 \cdot (\frac{4}{25})^x + 23 \cdot (\frac{2}{5})^x - 10 = 0$.
Так как $\frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$, уравнение можно записать как:
$5 \cdot ((\frac{2}{5})^x)^2 + 23 \cdot (\frac{2}{5})^x - 10 = 0$
Введем замену $t = (\frac{2}{5})^x$, при этом $t > 0$.
Получим квадратное уравнение: $5t^2 + 23t - 10 = 0$.
Найдем его корни:
$D = 23^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 529 + 200 = 729 = 27^2$
$t_{1,2} = \frac{-23 \pm 27}{2 \cdot 5} = \frac{-23 \pm 27}{10}$
$t_1 = \frac{-23 - 27}{10} = \frac{-50}{10} = -5$
$t_2 = \frac{-23 + 27}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
Корень $t_1 = -5$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $t>0$.
Сделаем обратную замену для $t_2 = \frac{2}{5}$:
$(\frac{2}{5})^x = \frac{2}{5}$
$(\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{5})^1$
$x = 1$
Ответ: $\{1\}$.