Номер 40.22, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.22, страница 163.

40.22 a) $2^{4x + 2} \cdot 5^{-3x - 1} = 6{,}25 \cdot 2^{x + 1}$;

б) $3^{5x - 1} \cdot 7^{2x - 2} = 3^{3x + 1}$.

а)

Дано показательное уравнение: $2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 6,25 \cdot 2^{x+1}$.

Первым шагом преобразуем число $6,25$. Представим его в виде обыкновенной дроби, а затем в виде произведения степеней с основаниями 2 и 5, которые присутствуют в уравнении.

$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = \frac{5^2}{2^2} = 5^2 \cdot 2^{-2}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = (5^2 \cdot 2^{-2}) \cdot 2^{x+1}$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, объединим степени с основанием 2 в правой части:

$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 5^2 \cdot 2^{x+1-2}$.

$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 5^2 \cdot 2^{x-1}$.

Разделим обе части уравнения так, чтобы сгруппировать степени с одинаковыми основаниями. Разделим на $2^{x-1}$ и на $5^{-3x-1}$. Так как показательные функции всегда положительны, деление корректно.

$\frac{2^{4x+2}}{2^{x-1}} = \frac{5^2}{5^{-3x-1}}$.

Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ к обеим частям уравнения:

$2^{(4x+2) - (x-1)} = 5^{2 - (-3x-1)}$.

$2^{4x+2-x+1} = 5^{2+3x+1}$.

$2^{3x+3} = 5^{3x+3}$.

Поскольку основания $2$ и $5$ различны, равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю, так как $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$. Также можно разделить обе части на $5^{3x+3} \neq 0$.

$(\frac{2}{5})^{3x+3} = 1$.

Представим 1 как $(\frac{2}{5})^0$:

$(\frac{2}{5})^{3x+3} = (\frac{2}{5})^0$.

Приравнивая показатели степеней, получаем линейное уравнение:

$3x+3 = 0$.

$3x = -3$.

$x = -1$.

Ответ: $-1$.

б)

Дано показательное уравнение: $3^{5x-1} \cdot 7^{2x-2} = 3^{3x+1}$.

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $3^{3x+1}$ (это действие корректно, так как $3^{3x+1} > 0$ при любом $x$).

$\frac{3^{5x-1}}{3^{3x+1}} \cdot 7^{2x-2} = 1$.

Используя свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, упростим левую часть:

$3^{(5x-1) - (3x+1)} \cdot 7^{2x-2} = 1$.

$3^{5x-1-3x-1} \cdot 7^{2x-2} = 1$.

$3^{2x-2} \cdot 7^{2x-2} = 1$.

В левой части мы имеем произведение степеней с одинаковым показателем. Воспользуемся свойством $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(3 \cdot 7)^{2x-2} = 1$.

$21^{2x-2} = 1$.

Любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Представим 1 как $21^0$.

$21^{2x-2} = 21^0$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x-2 = 0$.

$2x = 2$.

$x = 1$.

Ответ: $1$.