Номер 40.28, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.28, страница 163.

40.28 a) $4(\sqrt{5} - 2)^{x - 12} = \left(\frac{2}{\sqrt{5} + 2}\right)^{x - 12};$

б) $9(3 - \sqrt{8})^{2x + 1} = \left(\frac{3}{3 + \sqrt{8}}\right)^{2x + 1}.$

а) $4(\sqrt{5} - 2)^{x-12} = \left(\frac{2}{\sqrt{5} + 2}\right)^{x-12}$

Первым шагом преобразуем правую часть уравнения. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{5} - 2)$.

$\frac{2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{1} = 2(\sqrt{5} - 2)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$4(\sqrt{5} - 2)^{x-12} = (2(\sqrt{5} - 2))^{x-12}$

Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки в правой части:

$4(\sqrt{5} - 2)^{x-12} = 2^{x-12} \cdot (\sqrt{5} - 2)^{x-12}$

Так как основание $\sqrt{5} - 2 \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $(\sqrt{5} - 2)^{x-12}$, при условии, что этот множитель не равен нулю (что всегда верно).

$4 = 2^{x-12}$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$.

$2^2 = 2^{x-12}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 = x - 12$

Отсюда находим x:

$x = 12 + 2$

$x = 14$

Ответ: $14$

б) $9(3 - \sqrt{8})^{2x+1} = \left(\frac{3}{3 + \sqrt{8}}\right)^{2x+1}$

Действуем аналогично предыдущему примеру. Преобразуем правую часть уравнения, избавившись от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{8})$.

$\frac{3}{3 + \sqrt{8}} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{(3 + \sqrt{8})(3 - \sqrt{8})} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{3^2 - (\sqrt{8})^2} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{9 - 8} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{1} = 3(3 - \sqrt{8})$

Подставим полученный результат в исходное уравнение:

$9(3 - \sqrt{8})^{2x+1} = (3(3 - \sqrt{8}))^{2x+1}$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$9(3 - \sqrt{8})^{2x+1} = 3^{2x+1} \cdot (3 - \sqrt{8})^{2x+1}$

Основание $3 - \sqrt{8} \neq 0$, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $(3 - \sqrt{8})^{2x+1}$.

$9 = 3^{2x+1}$

Представим число 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.

$3^2 = 3^{2x+1}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2 = 2x + 1$

Решаем полученное линейное уравнение относительно x:

$2x = 2 - 1$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$