Номер 40.32, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.32, страница 164.

40.32 a) $2^{x^2+2x-6} - 2^{7-2x-x^2} = 3,5$;

б) $3^{2x^2+x} = 26 + 3^{3-x-2x^2}$.

а) $2^{x^2 + 2x - 6} - 2^{7 - 2x - x^2} = 3.5$

Заметим, что показатели степеней связаны между собой. Если мы обозначим $A = x^2 + 2x - 6$, то второй показатель будет $7 - 2x - x^2 = 1 - (x^2 + 2x - 6) = 1 - A$.

Исходное уравнение можно переписать в виде:

$2^A - 2^{1-A} = 3.5$

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем:

$2^A - \frac{2^1}{2^A} = 3.5$

Введем замену переменной. Пусть $y = 2^A$. Так как основание степени больше 1, то $y > 0$.

Уравнение принимает вид:

$y - \frac{2}{y} = 3.5$

Представим 3.5 как дробь $\frac{7}{2}$ и умножим все уравнение на $2y$ (что допустимо, так как $y \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:

$2y \cdot y - 2y \cdot \frac{2}{y} = 2y \cdot \frac{7}{2}$

$2y^2 - 4 = 7y$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2y^2 - 7y - 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Согласно условию $y > 0$, корень $y_2 = -0.5$ является посторонним. Таким образом, единственное решение — $y = 4$.

Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

$y = 2^A \Rightarrow 4 = 2^{x^2 + 2x - 6}$

$2^2 = 2^{x^2 + 2x - 6}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2 = x^2 + 2x - 6$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -8. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и -4.

Либо через дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$

Ответ: $x = -4; 2$.

б) $3^{2x^2 + x} = 26 + 3^{3 - x - 2x^2}$

Перенесем член с показательной функцией из правой части в левую:

$3^{2x^2 + x} - 3^{3 - x - 2x^2} = 26$

Заметим, что сумма показателей степеней равна $(2x^2 + x) + (3 - x - 2x^2) = 3$.

Пусть $A = 2x^2 + x$. Тогда второй показатель можно выразить как $3 - x - 2x^2 = 3 - (2x^2 + x) = 3 - A$.

Уравнение примет вид:

$3^A - 3^{3-A} = 26$

$3^A - \frac{3^3}{3^A} = 26$

$3^A - \frac{27}{3^A} = 26$

Введем замену переменной: $y = 3^A$. Поскольку $y$ — это значение показательной функции, $y > 0$.

Подставив $y$, получим уравнение:

$y - \frac{27}{y} = 26$

Умножим обе части на $y$ ($y \neq 0$):

$y^2 - 27 = 26y$

Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$y^2 - 26y - 27 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 26, а произведение -27. Корни: $y_1 = 27$ и $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому он является посторонним. Остается $y = 27$.

Выполним обратную замену:

$y = 3^A \Rightarrow 27 = 3^{2x^2 + x}$

$3^3 = 3^{2x^2 + x}$

Приравниваем показатели степеней:

$3 = 2x^2 + x$

$2x^2 + x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$

Ответ: $x = -1.5; 1$.