Номер 40.37, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.37, страница 164.

40.37. a) $$\begin{cases} 2^{2x} + 2^x \cdot y = 10, \\ y^2 + y \cdot 2^x = 15; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 7^{2x} - 7^x \cdot y = 28, \\ y^2 - y \cdot 7^x = -12. \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2^{2x} + 2^x \cdot y = 10, \\ y^2 + y \cdot 2^x = 15; \end{cases} $$

Для решения системы введем замену переменных. Пусть $a = 2^x$ и $b = y$. Так как $2^x$ всегда положительно, то $a > 0$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} a^2 + ab = 10, \\ b^2 + ab = 15; \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы:

$(a^2 + ab) + (b^2 + ab) = 10 + 15$

$a^2 + 2ab + b^2 = 25$

$(a+b)^2 = 25$

Отсюда следует, что $a+b = 5$ или $a+b = -5$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a+b=5$.

Вынесем $a$ за скобки в первом уравнении преобразованной системы: $a(a+b) = 10$.

Подставим значение $a+b=5$:

$a \cdot 5 = 10$

$a = 2$

Это значение удовлетворяет условию $a > 0$.

Теперь найдем $b$:

$b = 5 - a = 5 - 2 = 3$.

Вернемся к исходным переменным:

$a = 2^x \implies 2^x = 2 \implies x=1$.

$b = y \implies y=3$.

Таким образом, мы получили решение $(1; 3)$.

Случай 2: $a+b=-5$.

Аналогично подставляем в уравнение $a(a+b) = 10$:

$a \cdot (-5) = 10$

$a = -2$

Это значение не удовлетворяет условию $a > 0$, поэтому в этом случае решений нет.

Проверим единственное найденное решение $(1; 3)$ подстановкой в исходную систему:

$2^{2 \cdot 1} + 2^1 \cdot 3 = 2^2 + 6 = 4+6 = 10$. (Верно)

$3^2 + 3 \cdot 2^1 = 9 + 6 = 15$. (Верно)

Ответ: $(1; 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 7^{2x} - 7^x \cdot y = 28, \\ y^2 - y \cdot 7^x = -12; \end{cases} $$

Введем замену переменных. Пусть $a = 7^x$ и $b = y$. Так как $7^x$ всегда положительно, то $a > 0$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} a^2 - ab = 28, \\ b^2 - ab = -12; \end{cases} $$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$$ \begin{cases} a(a - b) = 28, \\ b(b - a) = -12; \end{cases} $$

Умножим второе уравнение на $-1$:

$b(a - b) = 12$.

Теперь система выглядит так:

$$ \begin{cases} a(a - b) = 28, \\ b(a - b) = 12; \end{cases} $$

Поскольку правые части не равны нулю, то $a-b \neq 0$. Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{a(a-b)}{b(a-b)} = \frac{28}{12}$

$\frac{a}{b} = \frac{7}{3}$, откуда $a = \frac{7}{3}b$.

Подставим это выражение во второе уравнение $b(a-b) = 12$:

$b(\frac{7}{3}b - b) = 12$

$b(\frac{4}{3}b) = 12$

$\frac{4}{3}b^2 = 12$

$b^2 = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9$

Отсюда $b=3$ или $b=-3$.

Случай 1: $b=3$.

$a = \frac{7}{3}b = \frac{7}{3} \cdot 3 = 7$.

Значение $a=7$ удовлетворяет условию $a > 0$.

Вернемся к исходным переменным:

$a = 7^x \implies 7^x = 7 \implies x=1$.

$b = y \implies y=3$.

Получили решение $(1; 3)$.

Случай 2: $b=-3$.

$a = \frac{7}{3}b = \frac{7}{3} \cdot (-3) = -7$.

Это значение не удовлетворяет условию $a > 0$, поэтому в этом случае решений нет.

Проверим единственное найденное решение $(1; 3)$ подстановкой в исходную систему:

$7^{2 \cdot 1} - 7^1 \cdot 3 = 49 - 21 = 28$. (Верно)

$3^2 - 3 \cdot 7^1 = 9 - 21 = -12$. (Верно)

Ответ: $(1; 3)$.