Номер 40.40, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.40, страница 165.

Решите неравенство:

40.40 a) $2^x \ge 4$;

б) $2^x < \frac{1}{2}$;

в) $2^x \le 8$;

г) $2^x > \frac{1}{16}$.

а) Решим неравенство $2^x \ge 4$.

Для решения показательного неравенства необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2.

Представим число 4 как степень с основанием 2: $4 = 2^2$.

Теперь неравенство можно переписать в виде: $2^x \ge 2^2$.

Так как основание степени $a = 2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

Сравниваем показатели степеней: $x \ge 2$.

Ответ: $x \ge 2$ (или в виде промежутка: $x \in [2; +\infty)$).

б) Решим неравенство $2^x < \frac{1}{2}$.

Приведем обе части неравенства к основанию 2. Используем свойство степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.

Представим число $\frac{1}{2}$ как степень с основанием 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $2^x < 2^{-1}$.

Основание степени $a = 2$ больше единицы ($2 > 1$), поэтому знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.

Сравниваем показатели: $x < -1$.

Ответ: $x < -1$ (или в виде промежутка: $x \in (-\infty; -1)$).

в) Решим неравенство $2^x \le 8$.

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

Представим число 8 как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.

Неравенство можно переписать в виде: $2^x \le 2^3$.

Так как основание степени $a = 2$ больше единицы ($2 > 1$), знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

Сравниваем показатели: $x \le 3$.

Ответ: $x \le 3$ (или в виде промежутка: $x \in (-\infty; 3]$).

г) Решим неравенство $2^x > \frac{1}{16}$.

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

Сначала представим число 16 как степень с основанием 2: $16 = 2^4$.

Теперь представим дробь $\frac{1}{16}$ как степень с основанием 2: $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.

Неравенство принимает вид: $2^x > 2^{-4}$.

Основание степени $a = 2$ больше единицы ($2 > 1$), поэтому знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

Сравниваем показатели: $x > -4$.

Ответ: $x > -4$ (или в виде промежутка: $x \in (-4; +\infty)$).