Номер 40.46, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.46, страница 165.

40.46 a) $2\sqrt{2} \cdot 2^{x - 3} \geq \frac{1}{2}$;

б) $\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt{5} \leq 5 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{2x - 1}$;

в) $\left(\frac{1}{7}\right)^{3x + 4} \cdot 7\sqrt{7} < \frac{1}{7}$;

г) $0,25 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{10 - x} > 4\sqrt{64}$.

а) Чтобы решить неравенство $2\sqrt{2} \cdot 2^{x-3} \ge \frac{1}{2}$, приведем обе его части к основанию 2.
Преобразуем левую часть: $2\sqrt{2} \cdot 2^{x-3} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{x-3} = 2^{1 + \frac{1}{2} + x - 3} = 2^{x - \frac{3}{2}}$.
Преобразуем правую часть: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Неравенство принимает вид: $2^{x - \frac{3}{2}} \ge 2^{-1}$.
Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$x - \frac{3}{2} \ge -1$
$x \ge \frac{3}{2} - 1$
$x \ge \frac{1}{2}$
Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) Чтобы решить неравенство $\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt{5} \le 5 \cdot (\frac{1}{5})^{2x-1}$, приведем обе его части к основанию 5.
Преобразуем левую часть: $\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt{5} = \sqrt[3]{5^3} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$.
Преобразуем правую часть: $5 \cdot (\frac{1}{5})^{2x-1} = 5^1 \cdot (5^{-1})^{2x-1} = 5^1 \cdot 5^{-2x+1} = 5^{1-2x+1} = 5^{2-2x}$.
Неравенство принимает вид: $5^{\frac{3}{2}} \le 5^{2-2x}$.
Так как основание степени $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$\frac{3}{2} \le 2 - 2x$
$2x \le 2 - \frac{3}{2}$
$2x \le \frac{1}{2}$
$x \le \frac{1}{4}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{4}]$.

в) Чтобы решить неравенство $(\frac{1}{7})^{3x+4} \cdot 7\sqrt{7} < \frac{1}{7}$, приведем обе его части к основанию 7.
Преобразуем левую часть: $(\frac{1}{7})^{3x+4} \cdot 7\sqrt{7} = (7^{-1})^{3x+4} \cdot 7^1 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{-3x-4} \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 7^{-3x-4+\frac{3}{2}} = 7^{-3x-\frac{5}{2}}$.
Преобразуем правую часть: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.
Неравенство принимает вид: $7^{-3x-\frac{5}{2}} < 7^{-1}$.
Так как основание степени $7 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$-3x - \frac{5}{2} < -1$
$-3x < \frac{5}{2} - 1$
$-3x < \frac{3}{2}$
При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{3}{2 \cdot (-3)}$
$x > -\frac{1}{2}$
Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; +\infty)$.

г) Чтобы решить неравенство $0,25 \cdot (\frac{1}{4})^{10-x} > 4\sqrt{64}$, приведем обе части к основанию 4.
Преобразуем левую часть: $0,25 \cdot (\frac{1}{4})^{10-x} = 4^{-1} \cdot (4^{-1})^{10-x} = 4^{-1} \cdot 4^{-10+x} = 4^{-1-10+x} = 4^{x-11}$.
Преобразуем правую часть: $4\sqrt{64} = 4 \cdot 8 = 32$. Чтобы представить 32 в виде степени с основанием 4, заметим, что $32 = 2^5 = (4^{\frac{1}{2}})^5 = 4^{\frac{5}{2}}$.
Неравенство принимает вид: $4^{x-11} > 4^{\frac{5}{2}}$.
Так как основание степени $4 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$x - 11 > \frac{5}{2}$
$x > 11 + \frac{5}{2}$
$x > \frac{22}{2} + \frac{5}{2}$
$x > \frac{27}{2}$
Ответ: $x \in (\frac{27}{2}; +\infty)$.