Номер 40.53, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.53, страница 166.

40.53 a) $5^x \le -x + 6;$

б) $\left(\frac{1}{4}\right)^x > 3x + 1;$

в) $3^x \ge -x + 4;$

г) $\left(\frac{1}{2}\right)^x < 0,5x + 5.$

а) $5^x \le -x + 6$

Данное неравенство является трансцендентным, и его аналитическое решение в общем виде затруднительно. Решим его графическим методом, проанализировав поведение функций в левой и правой частях неравенства.

Рассмотрим две функции: $y_1 = 5^x$ и $y_2 = -x + 6$.

Функция $y_1 = 5^x$ — показательная, с основанием $5 > 1$, следовательно, она является строго возрастающей на всей своей области определения.

Функция $y_2 = -x + 6$ — линейная, её график — прямая с отрицательным угловым коэффициентом $k=-1$, следовательно, она является строго убывающей.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $5^x = -x + 6$.

Подбором находим корень. При $x=1$:
Левая часть: $5^1 = 5$.
Правая часть: $-1 + 6 = 5$.
Так как $5=5$, то $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Теперь вернемся к неравенству $5^x \le -x + 6$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1 = 5^x$ лежит не выше графика функции $y_2 = -x + 6$.

Поскольку $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, до точки их пересечения ($x=1$) будет выполняться $y_1 < y_2$, а после — $y_1 > y_2$. В самой точке $x=1$ функции равны.

Таким образом, неравенство $5^x \le -x + 6$ выполняется при $x \le 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

б) $(\frac{1}{4})^x > 3x + 1$

Решим неравенство графическим методом.

Рассмотрим функции $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2 = 3x + 1$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ — показательная, с основанием $0 < \frac{1}{4} < 1$, следовательно, она является строго убывающей.

Функция $y_2 = 3x + 1$ — линейная, её график — прямая с положительным угловым коэффициентом $k=3$, следовательно, она является строго возрастающей.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку пересечения, решив уравнение $(\frac{1}{4})^x = 3x + 1$.

Подбором находим корень. При $x=0$:
Левая часть: $(\frac{1}{4})^0 = 1$.
Правая часть: $3 \cdot 0 + 1 = 1$.
Следовательно, $x=0$ — единственный корень уравнения.

Нам нужно решить неравенство $(\frac{1}{4})^x > 3x + 1$, то есть найти $x$, при которых график $y_1$ находится выше графика $y_2$.

Поскольку $y_1$ убывает, а $y_2$ возрастает, до точки их пересечения ($x=0$) будет выполняться $y_1 > y_2$, а после — $y_1 < y_2$.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

в) $3^x \ge -x + 4$

Решим данное неравенство, анализируя свойства функций.

Рассмотрим функции $y_1 = 3^x$ и $y_2 = -x + 4$.

Функция $y_1 = 3^x$ — показательная, строго возрастающая, так как основание $3 > 1$.

Функция $y_2 = -x + 4$ — линейная, строго убывающая, так как угловой коэффициент $k=-1 < 0$.

Графики этих функций могут пересечься только в одной точке. Найдем ее из уравнения $3^x = -x + 4$.

Методом подбора находим, что при $x=1$:
Левая часть: $3^1 = 3$.
Правая часть: $-1 + 4 = 3$.
Значит, $x=1$ — единственная точка пересечения.

Мы ищем значения $x$, для которых $3^x \ge -x + 4$, то есть $y_1 \ge y_2$.

Так как $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, то после точки пересечения ($x=1$) значения $y_1$ будут больше значений $y_2$. В самой точке $x=1$ значения функций равны.

Следовательно, решение неравенства — это $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

г) $(\frac{1}{2})^x < 0,5x + 5$

Решим неравенство графическим методом.

Рассмотрим функции $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2 = 0,5x + 5$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ — показательная, строго убывающая, так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$.

Функция $y_2 = 0,5x + 5$ — линейная, строго возрастающая, так как угловой коэффициент $k=0,5 > 0$.

В силу различной монотонности функции могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее из уравнения $(\frac{1}{2})^x = 0,5x + 5$.

Методом подбора находим корень. Попробуем целые отрицательные значения $x$. При $x=-2$:
Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
Правая часть: $0,5 \cdot (-2) + 5 = -1 + 5 = 4$.
Таким образом, $x=-2$ — единственный корень уравнения.

Мы решаем строгое неравенство $(\frac{1}{2})^x < 0,5x + 5$, то есть ищем $x$, при которых график $y_1$ лежит ниже графика $y_2$.

Так как $y_1$ убывает, а $y_2$ возрастает, то после точки пересечения ($x=-2$) значения $y_1$ будут меньше значений $y_2$.

Следовательно, решение неравенства — это $x > -2$.

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.