Номер 40.56, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.56, страница 167.

40.56 a) $4^x \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^x \leqslant 2,25;$

б) $9^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x > 0,25;$

в) $5^x \cdot \left(\frac{2}{15}\right)^x \geqslant \frac{4}{9};$

г) $3^x \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^x < 0,0625.$

а) Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней $a^x \cdot b^x = (ab)^x$:

$4^x \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^x = \left(4 \cdot \frac{3}{8}\right)^x = \left(\frac{12}{8}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^x$.

Правую часть представим в виде обыкновенной дроби: $2,25 = \frac{225}{100} = \frac{9}{4}$.

Неравенство принимает вид: $\left(\frac{3}{2}\right)^x \le \frac{9}{4}$.

Так как $\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$, получаем неравенство с одинаковыми основаниями: $\left(\frac{3}{2}\right)^x \le \left(\frac{3}{2}\right)^2$.

Основание степени $\frac{3}{2}$ больше 1, поэтому показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $x \le 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

б) Упростим левую часть неравенства, объединив основания:

$9^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x = \left(9 \cdot \frac{1}{18}\right)^x = \left(\frac{9}{18}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

Преобразуем правую часть: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Получаем неравенство: $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{4}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$.

Неравенство принимает вид: $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^2$.

Так как основание степени $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

в) Выполним преобразование левой части:

$5^x \cdot \left(\frac{2}{15}\right)^x = \left(5 \cdot \frac{2}{15}\right)^x = \left(\frac{10}{15}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^x$.

Неравенство принимает вид: $\left(\frac{2}{3}\right)^x \ge \frac{4}{9}$.

Запишем правую часть как степень с основанием $\frac{2}{3}$: $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$.

Получаем: $\left(\frac{2}{3}\right)^x \ge \left(\frac{2}{3}\right)^2$.

Основание степени $\frac{2}{3}$ меньше 1 (но больше 0), следовательно, показательная функция убывает. При сравнении показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $x \le 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

г) Упростим левую часть неравенства:

$3^x \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^x = \left(3 \cdot \frac{1}{12}\right)^x = \left(\frac{3}{12}\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^x$.

Переведем десятичную дробь в правой части в обыкновенную: $0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$.

Неравенство принимает вид: $\left(\frac{1}{4}\right)^x < \frac{1}{16}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{4}$: $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$.

Получаем неравенство: $\left(\frac{1}{4}\right)^x < \left(\frac{1}{4}\right)^2$.

Так как основание степени $\frac{1}{4}$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $x > 2$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.