Номер 40.63, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.63, страница 168.

40.63 Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} 2^{x+1} > 4, \\ 7^{3x-10} < 49; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (\frac{1}{2})^{4x+2,5} > \sqrt{2}, \\ 10^{x^2-1} > 1000; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 0,4^{-x+3} < 0,16, \\ 0,1^{x^2+1} > 0,01; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt{5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 1, \\ 0,2^{6-9x} \le 125. \end{cases}$

а)

Решим первое неравенство системы:

$2^{x+1} > 4$

Представим 4 как степень 2: $4 = 2^2$.

$2^{x+1} > 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$x+1 > 2$

$x > 1$

Решим второе неравенство системы:

$7^{3x-10} < 49$

Представим 49 как степень 7: $49 = 7^2$.

$7^{3x-10} < 7^2$

Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$3x-10 < 2$

$3x < 12$

$x < 4$

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > 1$ и $x < 4$.

Решением системы является интервал $(1, 4)$.

Ответ: $x \in (1, 4)$

б)

Решим первое неравенство системы:

$(\frac{1}{2})^{4x+2,5} > \sqrt{2}$

Приведем обе части к основанию 2. Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{0,5}$, неравенство принимает вид:

$(2^{-1})^{4x+2,5} > 2^{0,5}$

$2^{-(4x+2,5)} > 2^{0,5}$

$2^{-4x-2,5} > 2^{0,5}$

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$-4x-2,5 > 0,5$

$-4x > 3$

$x < -\frac{3}{4}$, что эквивалентно $x < -0,75$.

Решим второе неравенство системы:

$10^{x^2-1} > 1000$

Представим 1000 как степень 10: $1000 = 10^3$.

$10^{x^2-1} > 10^3$

Так как основание $10 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$x^2-1 > 3$

$x^2 > 4$

Это неравенство равносильно совокупности $x > 2$ или $x < -2$.

Найдем пересечение решений: $x < -0,75$ и ($x < -2$ или $x > 2$).

Пересечением множеств $(-\infty, -0,75)$ и $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ является интервал $(-\infty, -2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$

в)

Решим первое неравенство системы:

$0,4^{-x+3} < 0,16$

Представим 0,16 как степень 0,4: $0,16 = 0,4^2$.

$0,4^{-x+3} < 0,4^2$

Так как основание $0,4 < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$-x+3 > 2$

$-x > -1$

$x < 1$

Решим второе неравенство системы:

$0,1^{x^2+1} > 0,01$

Представим 0,01 как степень 0,1: $0,01 = 0,1^2$.

$0,1^{x^2+1} > 0,1^2$

Так как основание $0,1 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2+1 < 2$

$x^2 < 1$

Решением этого неравенства является интервал $-1 < x < 1$.

Найдем пересечение решений: $x < 1$ и $-1 < x < 1$.

Пересечением является интервал $(-1, 1)$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$

г)

Решим первое неравенство системы:

$\sqrt{5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 1$

Приведем обе части к основанию 5: $\sqrt{5} = 5^{0,5}$ и $1 = 5^0$.

$5^{0,5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 5^0$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{0,5 + 2x - 0,5} \ge 5^0$

$5^{2x} \ge 5^0$

Так как основание $5 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$2x \ge 0$

$x \ge 0$

Решим второе неравенство системы:

$0,2^{6-9x} \le 125$

Приведем обе части к основанию 5: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $125 = 5^3$.

$(5^{-1})^{6-9x} \le 5^3$

$5^{-(6-9x)} \le 5^3$

$5^{9x-6} \le 5^3$

Так как основание $5 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$9x-6 \le 3$

$9x \le 9$

$x \le 1$

Найдем пересечение решений: $x \ge 0$ и $x \le 1$.

Решением системы является отрезок $[0, 1]$.

Ответ: $x \in [0, 1]$