Номер 40.58, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.58, страница 167.

40.58 Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства:

а) $2,5^{2x + 3} \le 6,25;$

б) $(\frac{2}{5})^{7x - 9} \ge \frac{8}{125};$

в) $1,1^{5x - 3} < 1,21;$

г) $0,7^{9x + 4} > 0,49.$

а) $2,5^{2x + 3} \le 6,25$

Для решения этого показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. Заметим, что правая часть $6,25$ является квадратом левой части $2,5$.

$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2 = 2,5^2$.

Подставим это в неравенство:

$2,5^{2x + 3} \le 2,5^2$

Так как основание степени $2,5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$2x + 3 \le 2$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$2x \le 2 - 3$

$2x \le -1$

$x \le -0,5$

Требуется найти наибольшее целочисленное решение. Наибольшее целое число, которое меньше или равно $-0,5$, это $-1$.

Ответ: -1

б) $(\frac{2}{5})^{7x - 9} \ge \frac{8}{125}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{2}{5}$. Представим правую часть в виде степени:

$\frac{8}{125} = \frac{2^3}{5^3} = (\frac{2}{5})^3$

Теперь неравенство имеет вид:

$(\frac{2}{5})^{7x - 9} \ge (\frac{2}{5})^3$

Основание степени $\frac{2}{5}$ меньше 1 ($0 < \frac{2}{5} < 1$), поэтому показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе к показателям степени знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$7x - 9 \le 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$7x \le 3 + 9$

$7x \le 12$

$x \le \frac{12}{7}$

Поскольку $\frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1,71$, наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это $1$.

Ответ: 1

в) $1,1^{5x - 3} < 1,21$

Приведем обе части неравенства к основанию $1,1$. Заметим, что $1,21 = 1,1^2$.

Неравенство принимает вид:

$1,1^{5x - 3} < 1,1^2$

Основание степени $1,1 > 1$, поэтому функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$5x - 3 < 2$

Решим линейное неравенство:

$5x < 2 + 3$

$5x < 5$

$x < 1$

Наибольшее целое число, которое строго меньше $1$, это $0$.

Ответ: 0

г) $0,7^{9x + 4} > 0,49$

Приведем обе части неравенства к основанию $0,7$. Правая часть $0,49$ является квадратом $0,7$:

$0,49 = 0,7^2$

Неравенство можно переписать так:

$0,7^{9x + 4} > 0,7^2$

Основание степени $0,7$ меньше 1 ($0 < 0,7 < 1$), следовательно, показательная функция является убывающей. При переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$9x + 4 < 2$

Решим полученное линейное неравенство:

$9x < 2 - 4$

$9x < -2$

$x < -\frac{2}{9}$

Приближенное значение $-\frac{2}{9} \approx -0,22$. Наибольшее целое число, которое строго меньше $-\frac{2}{9}$, это $-1$.

Ответ: -1