Номер 40.61, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.61, страница 167.

40.61 a) $\frac{5}{12^x + 143} \ge \frac{5}{12^x + 2};$

б) $\frac{16^x + 42}{16^x} \le 22;$

В) $\frac{8}{11^x + 120} \le \frac{8}{11^x + 2};$

Г) $\frac{5^x + 15}{5^x} < 4.$

а)

В неравенстве $\frac{5}{12^x + 143} \ge \frac{5}{12^x + 2}$ знаменатели $12^x + 143$ и $12^x + 2$ всегда положительны, поскольку показательная функция $12^x > 0$ для любого действительного $x$. Числители дробей равны и положительны. Для дробей с одинаковыми положительными числителями, чем меньше знаменатель, тем больше дробь. Следовательно, неравенство равносильно следующему:

$12^x + 143 \le 12^x + 2$

Вычтем $12^x$ из обеих частей неравенства:

$143 \le 2$

Полученное неравенство является ложным. Таким образом, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б)

Решим неравенство $\frac{16^x + 42}{16^x} \le 22$. Введем замену переменной. Пусть $t = 16^x$. Так как $16^x$ всегда больше нуля, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{t + 42}{t} \le 22$

Разделим почленно числитель на знаменатель в левой части:

$1 + \frac{42}{t} \le 22$

$\frac{42}{t} \le 21$

Поскольку $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака:

$42 \le 21t$

Разделим обе части на 21:

$t \ge 2$

Вернемся к исходной переменной $x$:

$16^x \ge 2$

Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 2:

$(2^4)^x \ge 2^1$

$2^{4x} \ge 2^1$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей степеней:

$4x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{4}$

Ответ: $[\frac{1}{4}; +\infty)$.

в)

В неравенстве $\frac{8}{11^x + 120} \le \frac{8}{11^x + 2}$ знаменатели $11^x + 120$ и $11^x + 2$ всегда положительны ($11^x > 0$). Числители дробей одинаковы и положительны. Для дробей с одинаковыми положительными числителями, чем больше знаменатель, тем меньше дробь. Следовательно, неравенство равносильно следующему:

$11^x + 120 \ge 11^x + 2$

Вычтем $11^x$ из обеих частей неравенства:

$120 \ge 2$

Полученное неравенство является верным при любых действительных значениях $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $\frac{5^x + 15}{5^x} < 4$. Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как $5^x > 0$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{t + 15}{t} < 4$

Разделим почленно числитель на знаменатель в левой части:

$1 + \frac{15}{t} < 4$

$\frac{15}{t} < 3$

Поскольку $t > 0$, умножим обе части на $t$:

$15 < 3t$

Разделим обе части на 3:

$t > 5$

Вернемся к исходной переменной $x$:

$5^x > 5$

$5^x > 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей степеней:

$x > 1$

Ответ: $(1; +\infty)$.