Номер 40.55, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.55, страница 167.

40.55 a) $3^{\frac{x-4}{x}-3} < \frac{1}{27}$;

Б) $(\frac{8}{9})^{\frac{6x-1}{x}-1} \ge \frac{81}{64}$;

В) $8^{\frac{2-x}{x}-2} > \frac{1}{64}$;

Г) $(\frac{6}{11})^{\frac{5x+1}{x}-1} \le \frac{121}{36}$.

а) $3^{\frac{x-4}{x}-3} < \frac{1}{27}$

Запишем правую часть неравенства как степень с основанием 3: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Получаем неравенство: $3^{\frac{x-4}{x}-3} < 3^{-3}$.

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$\frac{x-4}{x} - 3 < -3$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$\frac{x-4}{x} < 0$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x-4 > 0 \\ x < 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} x-4 < 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Решаем первую систему: $\begin{cases} x > 4 \\ x < 0 \end{cases}$. Эта система не имеет решений.

Решаем вторую систему: $\begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \end{cases}$. Решением этой системы является интервал $(0; 4)$.

Область допустимых значений исходного неравенства определяется знаменателем показателя: $x \ne 0$. Найденное решение удовлетворяет этому условию.

Ответ: $(0; 4)$

б) $(\frac{8}{9})^{\frac{6x-1}{x}-1} \ge \frac{81}{64}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{8}{9}$:

$\frac{81}{64} = \frac{9^2}{8^2} = (\frac{9}{8})^2 = ((\frac{8}{9})^{-1})^2 = (\frac{8}{9})^{-2}$

Неравенство принимает вид: $(\frac{8}{9})^{\frac{6x-1}{x}-1} \ge (\frac{8}{9})^{-2}$.

Так как основание степени $0 < \frac{8}{9} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{6x-1}{x} - 1 \le -2$

Прибавим 1 к обеим частям: $\frac{6x-1}{x} \le -1$.

Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{6x-1}{x} + 1 \le 0$

$\frac{6x-1+x}{x} \le 0$

$\frac{7x-1}{x} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $7x-1=0 \implies x=\frac{1}{7}$. Нуль знаменателя: $x=0$.

Нанесем точки на числовую прямую. Точка $x=\frac{1}{7}$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое, а точка $x=0$ - выколотой, так как она из знаменателя.

Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{1}{7}]$, $[\frac{1}{7}; +\infty)$.

Проверяем знаки на интервалах:

При $x> \frac{1}{7}$ (например, $x=1$): $\frac{7(1)-1}{1} = 6 > 0$.

При $0 < x < \frac{1}{7}$ (например, $x=0.1$): $\frac{7(0.1)-1}{0.1} = \frac{-0.3}{0.1} = -3 < 0$. Этот интервал подходит.

При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{7(-1)-1}{-1} = 8 > 0$.

Решением является интервал $0 < x \le \frac{1}{7}$.

Ответ: $(0; \frac{1}{7}]$

в) $8^{\frac{2-x}{x}-2} > \frac{1}{64}$

Запишем правую часть как степень с основанием 8: $\frac{1}{64} = \frac{1}{8^2} = 8^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $8^{\frac{2-x}{x}-2} > 8^{-2}$.

Так как основание $8 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$\frac{2-x}{x} - 2 > -2$

Прибавим 2 к обеим частям:

$\frac{2-x}{x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $2-x=0 \implies x=2$. Нуль знаменателя: $x=0$.

Наносим точки $0$ и $2$ на числовую прямую (обе точки выколоты).

Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

Проверяем знаки на интервалах:

При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{2-3}{3} = -\frac{1}{3} < 0$.

При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $\frac{2-1}{1} = 1 > 0$. Этот интервал подходит.

При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{2-(-1)}{-1} = -3 < 0$.

Решением является интервал $(0; 2)$.

Ответ: $(0; 2)$

г) $(\frac{6}{11})^{\frac{5x+1}{x}-1} \le \frac{121}{36}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{6}{11}$:

$\frac{121}{36} = \frac{11^2}{6^2} = (\frac{11}{6})^2 = ((\frac{6}{11})^{-1})^2 = (\frac{6}{11})^{-2}$

Неравенство принимает вид: $(\frac{6}{11})^{\frac{5x+1}{x}-1} \le (\frac{6}{11})^{-2}$.

Так как основание $0 < \frac{6}{11} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$\frac{5x+1}{x} - 1 \ge -2$

Прибавим 1 к обеим частям: $\frac{5x+1}{x} \ge -1$.

Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{5x+1}{x} + 1 \ge 0$

$\frac{5x+1+x}{x} \ge 0$

$\frac{6x+1}{x} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $6x+1=0 \implies x=-\frac{1}{6}$. Нуль знаменателя: $x=0$.

Нанесем точки на числовую прямую. Точка $x=-\frac{1}{6}$ будет закрашенной, точка $x=0$ - выколотой.

Интервалы: $(-\infty; -\frac{1}{6}]$, $[-\frac{1}{6}; 0)$, $(0; +\infty)$.

Проверяем знаки на интервалах:

При $x > 0$ (например, $x=1$): $\frac{6(1)+1}{1} = 7 > 0$. Этот интервал подходит.

При $-\frac{1}{6} < x < 0$ (например, $x=-0.1$): $\frac{6(-0.1)+1}{-0.1} = \frac{0.4}{-0.1} = -4 < 0$.

При $x < -\frac{1}{6}$ (например, $x=-1$): $\frac{6(-1)+1}{-1} = 5 > 0$. Этот интервал подходит.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; -\frac{1}{6}]$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{6}] \cup (0; +\infty)$