Номер 40.48, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.48, страница 166.

40.48 а) $\sqrt{2^{-1}} \cdot \sqrt{2^{x^2-7,5}} \ge 2^{-7};$

б) $0,9^{x^2-4x} < \left(\frac{10}{9}\right)^3;$

В) $14^{x^2+x} \le 196;$

Г) $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2-13x} > 9.$

а)

Исходное неравенство: $ \sqrt{2^{-1}} \cdot \sqrt{2^{x^2 - 7,5}} \ge 2^{-7} $.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степеней $ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} $ и $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ (2^{-1})^{\frac{1}{2}} \cdot (2^{x^2 - 7,5})^{\frac{1}{2}} \ge 2^{-7} $

$ 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{x^2 - 7,5}{2}} \ge 2^{-7} $

$ 2^{-\frac{1}{2} + \frac{x^2 - 7,5}{2}} \ge 2^{-7} $

$ 2^{\frac{-1 + x^2 - 7,5}{2}} \ge 2^{-7} $

$ 2^{\frac{x^2 - 8,5}{2}} \ge 2^{-7} $

Так как основание степени $ 2 > 1 $, показательная функция возрастает, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$ \frac{x^2 - 8,5}{2} \ge -7 $

Решим полученное неравенство:

$ x^2 - 8,5 \ge -14 $

$ x^2 + 5,5 \ge 0 $

Поскольку $ x^2 \ge 0 $ для любого действительного числа $ x $, то $ x^2 + 5,5 $ всегда будет больше или равно $ 5,5 $, что, в свою очередь, больше нуля. Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных значений $ x $.

Область допустимых значений исходного неравенства не накладывает дополнительных ограничений, так как подкоренные выражения $ 2^{-1} $ и $ 2^{x^2 - 7,5} $ всегда положительны.

Ответ: $ x \in (-\infty; +\infty) $.

б)

Исходное неравенство: $ 0,9^{x^2 - 4x} < (\frac{10}{9})^3 $.

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $ 0,9 = \frac{9}{10} $ и $ \frac{10}{9} = (\frac{9}{10})^{-1} $.

$ (\frac{9}{10})^{x^2 - 4x} < ((\frac{9}{10})^{-1})^3 $

$ (\frac{9}{10})^{x^2 - 4x} < (\frac{9}{10})^{-3} $

Так как основание степени $ \frac{9}{10} < 1 $, показательная функция убывает, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$ x^2 - 4x > -3 $

Решим полученное квадратное неравенство:

$ x^2 - 4x + 3 > 0 $

Найдем корни соответствующего уравнения $ x^2 - 4x + 3 = 0 $. По теореме Виета, корни уравнения: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 3 $.

Парабола $ y = x^2 - 4x + 3 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения при $ x $ левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $ x < 1 $ или $ x > 3 $.

Ответ: $ (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) $.

в)

Исходное неравенство: $ 14^{x^2 + x} \le 196 $.

Приведем обе части неравенства к основанию 14. Известно, что $ 196 = 14^2 $.

$ 14^{x^2 + x} \le 14^2 $

Так как основание степени $ 14 > 1 $, показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$ x^2 + x \le 2 $

Решим полученное квадратное неравенство:

$ x^2 + x - 2 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ x^2 + x - 2 = 0 $. По теореме Виета, корни: $ x_1 = -2 $, $ x_2 = 1 $.

Парабола $ y = x^2 + x - 2 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неположительные значения ($ \le 0 $) между корнями (включительно).

Таким образом, решение неравенства: $ -2 \le x \le 1 $.

Ответ: $ [-2; 1] $.

г)

Исходное неравенство: $ (\frac{1}{\sqrt{3}})^{3x^2 - 13x} > 9 $.

Приведем обе части неравенства к основанию 3.

Преобразуем левую часть: $ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = 3^{-1/2} $.

Тогда $ (\frac{1}{\sqrt{3}})^{3x^2 - 13x} = (3^{-1/2})^{3x^2 - 13x} = 3^{-\frac{1}{2}(3x^2 - 13x)} = 3^{\frac{-3x^2+13x}{2}} $.

Преобразуем правую часть: $ 9 = 3^2 $.

Неравенство принимает вид:

$ 3^{\frac{-3x^2+13x}{2}} > 3^2 $

Так как основание степени $ 3 > 1 $, показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$ \frac{-3x^2+13x}{2} > 2 $

Решим полученное неравенство:

$ -3x^2 + 13x > 4 $

$ -3x^2 + 13x - 4 > 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ 3x^2 - 13x + 4 < 0 $

Найдем корни уравнения $ 3x^2 - 13x + 4 = 0 $ с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121 = 11^2 $

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 11}{6} $

$ x_1 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

$ x_2 = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4 $

Парабола $ y = 3x^2 - 13x + 4 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения ($ < 0 $) между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $ \frac{1}{3} < x < 4 $.

Ответ: $ (\frac{1}{3}; 4) $.