Номер 40.49, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.49, страница 166.

40.49 a) $2^x + 2^{x+2} \le 20;$

В) $\left(\frac{1}{5}\right)^{3x+4} + \left(\frac{1}{5}\right)^{3x+5} > 6;$

Б) $3^{2x-1} - 3^{2x-3} < \frac{8}{3};$

Г) $0,3^{6x-1} - 0,3^{6x} \ge 0,7.$

а) $2^x + 2^{x+2} \le 20$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^x + 2^x \cdot 2^2 \le 20$

$2^x + 4 \cdot 2^x \le 20$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + 4) \le 20$

$5 \cdot 2^x \le 20$

Разделим обе части неравенства на 5:

$2^x \le 4$

Представим 4 как степень с основанием 2: $4 = 2^2$.

$2^x \le 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \le 2$

Ответ: $(-\infty; 2]$.

б) $3^{2x-1} - 3^{2x-3} < \frac{8}{3}$

Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $3^{2x-3}$:

$3^{2x-3}(3^{(2x-1)-(2x-3)} - 1) < \frac{8}{3}$

$3^{2x-3}(3^2 - 1) < \frac{8}{3}$

$3^{2x-3}(9 - 1) < \frac{8}{3}$

$8 \cdot 3^{2x-3} < \frac{8}{3}$

Разделим обе части неравенства на 8:

$3^{2x-3} < \frac{1}{3}$

Представим $\frac{1}{3}$ как степень с основанием 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$3^{2x-3} < 3^{-1}$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x - 3 < -1$

$2x < 2$

$x < 1$

Ответ: $(-\infty; 1)$.

в) $(\frac{1}{5})^{3x+4} + (\frac{1}{5})^{3x+5} > 6$

Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $(\frac{1}{5})^{3x+4}$:

$(\frac{1}{5})^{3x+4} \cdot (1 + (\frac{1}{5})^1) > 6$

$(\frac{1}{5})^{3x+4} \cdot (1 + \frac{1}{5}) > 6$

$(\frac{1}{5})^{3x+4} \cdot \frac{6}{5} > 6$

Разделим обе части неравенства на $\frac{6}{5}$ (то есть умножим на $\frac{5}{6}$):

$(\frac{1}{5})^{3x+4} > 5$

Представим 5 как степень с основанием $\frac{1}{5}$: $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$.

$(\frac{1}{5})^{3x+4} > (\frac{1}{5})^{-1}$

Так как основание степени $0 < \frac{1}{5} < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$3x + 4 < -1$

$3x < -5$

$x < -\frac{5}{3}$

Ответ: $(-\infty; -\frac{5}{3})$.

г) $0,3^{6x-1} - 0,3^{6x} \ge 0,7$

Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $0,3^{6x-1}$:

$0,3^{6x-1}(1 - 0,3^{(6x)-(6x-1)}) \ge 0,7$

$0,3^{6x-1}(1 - 0,3^1) \ge 0,7$

$0,3^{6x-1}(1 - 0,3) \ge 0,7$

$0,3^{6x-1} \cdot 0,7 \ge 0,7$

Разделим обе части неравенства на 0,7:

$0,3^{6x-1} \ge 1$

Представим 1 как степень с основанием 0,3: $1 = 0,3^0$.

$0,3^{6x-1} \ge 0,3^0$

Так как основание степени $0 < 0,3 < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$6x - 1 \le 0$

$6x \le 1$

$x \le \frac{1}{6}$

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{6}]$.