Номер 40.45, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.45, страница 165.

40.45 a) $2^{3x + 6} \leqslant \left(\frac{1}{4}\right)^{x - 1}$;

б) $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x + 3} > \left(\frac{12}{7}\right)^{3 + 2x}$;

в) $25^{-x + 3} \geqslant \left(\frac{1}{5}\right)^{3x - 1}$;

г) $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x - 8} < \left(\frac{9}{25}\right)^{-x + 3}$.

а) $2^{3x+6} \le (\frac{1}{4})^{x-1}$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 2. Представим $\frac{1}{4}$ как степень двойки: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$2^{3x+6} \le (2^{-2})^{x-1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим правую часть:

$2^{3x+6} \le 2^{-2(x-1)}$

$2^{3x+6} \le 2^{-2x+2}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$3x + 6 \le -2x + 2$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$3x + 2x \le 2 - 6$

$5x \le -4$

$x \le -\frac{4}{5}$

Решение можно записать в виде интервала $x \in (-\infty; -0.8]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.8]$.

б) $(\frac{7}{12})^{-2x+3} > (\frac{12}{7})^{3+2x}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что основания $\frac{7}{12}$ и $\frac{12}{7}$ являются взаимно обратными числами, то есть $\frac{12}{7} = (\frac{7}{12})^{-1}$.

Подставим это в неравенство:

$(\frac{7}{12})^{-2x+3} > ((\frac{7}{12})^{-1})^{3+2x}$

Упростим правую часть:

$(\frac{7}{12})^{-2x+3} > (\frac{7}{12})^{-(3+2x)}$

$(\frac{7}{12})^{-2x+3} > (\frac{7}{12})^{-3-2x}$

Так как основание степени $0 < \frac{7}{12} < 1$, показательная функция $y=(\frac{7}{12})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$-2x + 3 < -3 - 2x$

Решим полученное линейное неравенство:

$-2x + 2x < -3 - 3$

$0 < -6$

Мы получили ложное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

в) $25^{-x+3} \ge (\frac{1}{5})^{3x-1}$

Приведем обе части к общему основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Подставим эти выражения в неравенство:

$(5^2)^{-x+3} \ge (5^{-1})^{3x-1}$

Упростим показатели степеней:

$5^{2(-x+3)} \ge 5^{-1(3x-1)}$

$5^{-2x+6} \ge 5^{-3x+1}$

Так как основание $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-2x + 6 \ge -3x + 1$

Решим линейное неравенство:

$-2x + 3x \ge 1 - 6$

$x \ge -5$

Решение в виде интервала: $x \in [-5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.

г) $(\frac{5}{3})^{2x-8} < (\frac{9}{25})^{-x+3}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Удобно выбрать основание $\frac{5}{3}$. Представим правую часть через это основание:

$\frac{9}{25} = \frac{3^2}{5^2} = (\frac{3}{5})^2$. Так как $\frac{3}{5} = (\frac{5}{3})^{-1}$, то $\frac{9}{25} = ((\frac{5}{3})^{-1})^2 = (\frac{5}{3})^{-2}$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(\frac{5}{3})^{2x-8} < ((\frac{5}{3})^{-2})^{-x+3}$

Упростим показатель в правой части:

$(\frac{5}{3})^{2x-8} < (\frac{5}{3})^{-2(-x+3)}$

$(\frac{5}{3})^{2x-8} < (\frac{5}{3})^{2x-6}$

Основание степени $\frac{5}{3} > 1$, поэтому показательная функция возрастающая, и знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$2x - 8 < 2x - 6$

Решим полученное неравенство:

$2x - 2x < -6 + 8$

$0 < 2$

Мы получили верное числовое неравенство, не зависящее от $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого действительного значения переменной $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.