Номер 40.47, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.47, страница 166.

40.47 a) $7^{x^2 - 5x} < \left(\frac{1}{7}\right)^6$;

Б) $0,6^{x^2 - x} \ge \left(\frac{3}{5}\right)^6$;

В) $11^{2x^2 + 3x} \le 121$;

Г) $0,3^{x^2 - 10x} > \left(3\frac{1}{3}\right)^{24}$.

а) $7^{x^2 - 5x} < (\frac{1}{7})^6$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 7. Так как $(\frac{1}{7})^6 = (7^{-1})^6 = 7^{-6}$, неравенство принимает вид:

$7^{x^2 - 5x} < 7^{-6}$

Поскольку основание степени 7 > 1, показательная функция с таким основанием является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 5x < -6$

$x^2 - 5x + 6 < 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$

б) $0,6^{x^2 - x} \geq (\frac{3}{5})^6$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Неравенство принимает вид:

$(\frac{3}{5})^{x^2 - x} \geq (\frac{3}{5})^6$

Поскольку основание степени $\frac{3}{5}$ находится в интервале (0; 1), показательная функция с таким основанием является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - x \leq 6$

$x^2 - x - 6 \leq 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны ($\leq 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-2; 3]$.

Ответ: $[-2; 3]$

в) $11^{2x^2 + 3x} \leq 121$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 11. Так как $121 = 11^2$, неравенство принимает вид:

$11^{2x^2 + 3x} \leq 11^2$

Поскольку основание степени 11 > 1, показательная функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x^2 + 3x \leq 2$

$2x^2 + 3x - 2 \leq 0$

Решим квадратное уравнение $2x^2 + 3x - 2 = 0$, чтобы найти его корни.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$, $x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны ($\leq 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-2; \frac{1}{2}]$.

Ответ: $[-2; 0,5]$

г) $0,3^{x^2 - 10x} > (3\frac{1}{3})^{24}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $0,3 = \frac{3}{10}$ и $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$. Основания являются взаимно обратными числами: $\frac{10}{3} = (\frac{3}{10})^{-1}$.

Преобразуем правую часть неравенства: $(3\frac{1}{3})^{24} = (\frac{10}{3})^{24} = ((\frac{3}{10})^{-1})^{24} = (\frac{3}{10})^{-24}$.

Неравенство принимает вид:

$(\frac{3}{10})^{x^2 - 10x} > (\frac{3}{10})^{-24}$

Поскольку основание степени $\frac{3}{10}$ находится в интервале (0; 1), показательная функция является убывающей, и знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$x^2 - 10x < -24$

$x^2 - 10x + 24 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 10x + 24 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 10x + 24$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(4; 6)$.

Ответ: $(4; 6)$